级数收敛，则S_n 和 S_2n 相等。
1、级数的定义和收敛性
级数是指将一系列数字相加所得到的和。一个级数可以用部分和序列{sn}表示，其中第n个部分和sn是前n个项的总和。一个级数被称为是收敛的，如果它的部分和序列{sn}收敛于一个有限的极限值，否则就是发散的。
2、sn和s2n的定义
sn是部分和序列，表示前n个项的总和，即s1, s2, s3, ..., sn。s2n也是部分和序列，表示前2n个项的总和，即s1, s2, ..., sn, s(n+1), ..., s2n。
3、收敛级数的性质
对于一个收敛的级数，部分和序列{sn}收敛于一个有限的极限值。这意味着随着n的增加，sn逐渐趋近于一个确定的值。类似的s2n也收敛于同样的极限值，因为s2n是将前2n个项相加得到的。
4、数列和部分和的关系
对于一个收敛的级数，数列的部分和sn是趋近于一个有限的极限值的。这意味着，当n趋向于无穷大时，sn也趋向于这个极限值。
这是因为数列的部分和是从数列的第一个元素开始累加到第n个元素的总和，而当n趋近于无穷大时，整个数列中的元素都被考虑在内，所以部分和也会趋近于极限值。
级数的收敛性判别法
1、比较判别法
如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且这个级数收敛，那么原级数也收敛。如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且这个级数发散，那么原级数也发散。
2、极限判别法
如果一个级数的通项an的极限为零，并且级数中的每一项都非负（即an≥0），那么这个级数收敛。如果一个级数的通项an的极限不存在或不为零，那么这个级数发散。
3、比值判别法
计算出级数的通项an+1与an之间的比值的极限L，如果L小于1，那么级数收敛；如果L大于1或者无穷大，那么级数发散；如果L等于1则不能判定，需要使用其他方法。