等比无穷级数求和公式

Question

如题所述

Answer 1

等比无穷级数是指一个数列中每一项与它前一项的比值都相等的级数，其求和公式为：

S = a / (1 - r)

其中，a为首项，r为公比，S为等比无穷级数的和。

拓展相关知识

首先，等比级数的收敛性与公比r的大小有关。当|r|<1时，等比级数收敛，当|r|≥1时，等比级数发散。这是因为当|r|<1时，级数的每一项都比前一项小，随着项数的增加，级数的和趋近于一个有限值；而当|r|≥1时，级数的每一项都比前一项大，随着项数的增加，级数的和趋近于无穷大。

其次，等比级数在金融、工程、物理等领域中有广泛的应用。例如，复利计算中的本金和利息就是一个等比级数，其中本金为首项，利率为公比；在工程中，等比级数可以用来描述电路中的电压、电流等变化规律；在物理中，等比级数可以用来描述衰减、增长等现象。

此外，等比级数还有一些有趣的性质。例如，等比级数的前n项和可以表示为S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)，这个公式可以用来计算等比级数的前n项和；另外，等比级数的和与首项、公比无关，只与首项和公比的乘积有关，即S = a / (1 - r) = ar / (r - 1)。