关于拉格朗日中值定理的疑问

Question

函数为：f(x)=x^2*sin(1/x)，x≠0；f(0)=0，则f(x)连续，可导
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点

由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ，（0<ξ<x）
两端取极限 lim [f(x)-f(0)]/x=lim f'(ξ)，x—>0
又 f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x，x—>0
所以当x—>0时，limf'(x)=f'(0)
所以f'(x)在x=0处连续，与“f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点”矛盾

确实想不明白，请指教！谢谢！

Answer 1

所以当x—>0时，limf'(x)=f'(0)
这一句有问题，因为只能说对满足
[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ(x))
的那些ξ,
当ξ足够小时f'(ξ)足够接近f'(0)
但是要注意的是满足中值定理的ξ并没有占据x=0附近的所有点，要让x=0附近的任意一点x，满足x离0足够近时，f'(x)都能足够接近f'(0)才行，只有满足中值定理的那些ξ是不够的。

Answer 2

首先，x=0处为振荡间断点。然后就是你在使用limf'(x)=f'(0)x趋于0时，已经默认导数连续了，用导数连续证明连续当然可以了。事实上limf(x)=f(a)x趋于a成立，只有x=a处连续才行！