利用定积分的定义，计算下列定积分

Question

利用定积分的定义，计算下列定积分2(2)

Answer 1

解：原式=lim(n→∞)∑(1/n)1/(1+k/n)，k=1,2，……，n。
按照定积分的定义，视“1/n”为dx，“k/n”为x【x∈(0,1]】，
∴原式=∫(0,1)dx/(1+x)=ln(1+x)丨(x=0,1)=ln2。
供参考。追问

你是不是答错题了

追答

不好意思。将[0,1]n等分，每个等分点的长度△xi=1/n、f(xi)=e^(i/n)，i=1,2，……，n-1，
∴按照定积分的定义，∫(0,1)e^xdx=lim(△xi→0)∑(△xi)f(xi)=lim(n→∞)∑(1/n)e^(i/n)。
而，∑e^(i/n)是首项、公比均为e^(1/n)的等比级数，∴∑e^(i/n)=[e^(1/n)-e]/[1-e^(1/n)]。
∴原式=lim(n→∞)[e^(1/n)-e]*lim(n→∞)(1/n)[e^(1/n)-1]。
又，lim(n→∞)[e^(1/n)-e]=1-e、lim(n→∞)(1/n)[1-e^(1/n)]=-1，∴原式=e-1。
供参考。