【高数极值问题】把驻点代入D明显大于1在区域外呀？为什么在边界上？gx又是哪来的？为什么要连立fx

Question

【高数极值问题】把驻点代入D明显大于1在区域外呀？为什么在边界上？gx又是哪来的？为什么要连立fx与D得gx？这题用拉格朗日解不行吗？

Answer 1

由闭区域上连续函数的性质，必有最值，且最值在极值点或区域的边界上去的。
此题答案步骤为先求f(x，y)的极值点，再求边界上的最值。
关于所求的极值点(1/2，0)，答案的意思并不是它在边界上，同学你仔细看的话男看到题目中用了一个“；”的分号，这个极值点显然在区域的内部。
答案接着要求边界上的最值，这一步其实就是条件极值，这里是可以用拉格朗日乘数法来求的，但是注意到边界方程为2x^2+y^2=1，可以直接把y^2=1-2x^2带入f(x,y)，就变成了求x^2+x-1的最值，于是答案就设了g(x)=x^2+x-1，就转化为求g(x)的最值，当然要先确定定义域，答案中也先求了，最终把求出的g(x)的最值对应的点带入f(x，y)并和f(x，y)的极值点比较，进而得到f(x，y)的最值。追问

请问gx的定义域是如何求出的呢？

追答

有边界方程2x^2+y^2=1，可得-1/2^(1/2)≤x≤1/2^(1/2)，即题目中所得的x的范围。

Answer 2

在D上 f(x,y)=x2+x-(2x2+y2)>=x2+x-1=g（x） 余下的答案应该看得懂 ：g(x)min处有最小值，
先求f(x,y)偏导，偏导等于0处有极值，g(x)max处可能有最大值，两者比较出最大值