初三数学题

Question

25、如图，四分之一圆O的半径为2，点A、B为圆弧上两动点，矩形ABCD内接于四分之一圆，试猜想矩形ABCD面积的最大值为多少？

Answer 1

你这是高二三角函数问题，可以解，不知道能不能看懂。

解题过程如下：

解：设∠BOC为α,

如图

则，sinα=BH/OB=BH/2

  即BH=2 sinα

矩形的宽BC 为2√2sinα

cosα=OH/OB=OH/2

  即OH=2 cosα

则OC=OH-CH=OH-BH=2 cosα-2 sinα

矩形的长DC 为√2×（2 cosα-2 sinα）

面积S=BC×DC=√2×（2 cosα-2 sinα）×2√2sinα

            =8×(sinα×cosα- sinα×sinα)

           =8×[1/2×sin2α-(1- cos2α)/2]

        =8×[√2/2×sin (2α+45°)-1/2]

当α为22.5°时sin (2α+45°)有最大值1

此时 S有最大面积  4√2-4

Answer 2

解：设∠BOC为α,

如图

则，sinα=BH/OB=BH/2
即BH=2 sinα
矩形的宽BC 为2√2sinα
cosα=OH/OB=OH/2
即OH=2 cosα
则OC=OH-CH=OH-BH=2 cosα-2 sinα
矩形的长DC 为√2×（2 cosα-2 sinα）
面积S=BC×DC=√2×（2 cosα-2 sinα）×2√2sinα
=8×(sinα×cosα- sinα×sinα)
=8×[1/2×sin2α-(1- cos2α)/2]
=8×[√2/2×sin (2α+45°)-1/2]
当α为22.5°时sin (2α+45°)有最大值1
此时 S有最大面积 4√2-4

Answer 3

猜想的话，仅需要OD=OC（高中数学中的均值不等式）。