第十章：函数项级数的深度解析
在数学分析的世界里，函数项级数如同无穷序列的函数和的集合，它们为我们研究无穷复杂性提供了关键的工具。陈纪修的《数学分析》中，第十章专门探讨了这一主题。
函数项级数的收敛并非仅依赖于有限部分的和，而是需要深入理解点态收敛与一致收敛的概念。点态收敛是基础，但它仅保证在每个点的局部行为，若想探讨函数的连续性、可导性等性质，我们需要引入一致收敛的概念，即和函数与部分和序列在定义域内处处接近。
一致收敛的充要条件包括点态收敛与和函数与部分和序列间的极限关系。我们有Cauchy收敛原理、Weierstrass判别法，以及Abel和Dirichlet的附加条件，它们揭示了级数收敛的严密性。Dini定理更是强调了单调性在一致性中的重要性，它与含参积分的理论有着深刻的联系。
特殊如Leibniz级数与幂级数，是函数项级数中的亮点。幂级数的收敛半径计算至关重要，它源于数项级数的根式判别法和D'Alembert判别法。Cauchy-Hadamard定理和Abel第二定理为我们提供了判断收敛性的强大工具。
收敛的幂级数具有诸多美妙性质，如连续性、逐项可积性和可导性，这些性质使得幂级数成为分析函数行为的强大工具。然而，是否所有函数项级数都能转化为幂级数？答案是有限定条件的，Taylor级数与余项公式就是实现这一转化的关键。
通过深入理解函数项级数的一致收敛性和特殊级数，我们得以更精细地刻画无穷复杂的函数世界，揭示出它们在数学分析中的深刻内涵和广泛应用。