设A是n阶矩阵,A*是A的
伴随矩阵,两者的秩的关系如下:
r(A*) = n, 若r(A)=n
r(A*)=1, 若r(A)=n-1;
r(A*)=0,若r(A)<n-1;
证明如下所示:
若秩r(A)=n,说明
行列式|A|≠0,说明|A*|≠0,所以这时候r(A*)=n;
若秩r(A)<n-1,说明,行列式|A|=0,同时,矩阵A中所有n-1阶子式均为0,即行列式|A|的所有
代数余子式均为0,所以这时候r(A*)=0;
若秩r(A)=n-1,说明,行列式|A|=0,但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0,对此有:
AA*=|A|E=0
从而r(A)+r(A*)小于或等于n,也就是r(A*)小于或等于1,又因为A中存在n-1阶子式不为0,所以Aij≠0,得r(A*)大于或等于1,所以最后等于1.