求助一道半正定矩阵特征值问题

Question

如题所述

Answer 1

对于实对称阵A,一定存在可逆阵P,使得
(P^T)AP=diag(a1,a2,...,an)
其中a1,a2,...,an为A的特征值.
对于任意列向量Y=[y1,y2,...,yn]^T,
做列向量X=PY.
由于A半正定,所以(X^T)AX>=0
[(PY)^T]A(PY)>=0
(Y^T)[(P^T)AP]Y>=0
a1*y1^2+a2*y2^2+...+an*yn^2>=0
由于列向量Y的任意性,
所以A的特征值a1,a2,...,an必须>=0