对称正定矩阵的特征值问题4

Question

最近学数学有点学得头大，有些问题想不清楚了。
现在我已经知道n阶对称正定矩阵一定有n个正的特征值了。但是衍生出了几个小问题：
3. 对于正定阵A来说，它一定能有n个非负特征值吗？
（正定阵不要求对称，我没记错吧？）
（问了一大堆问题，主要是想知道，什么时候能够存在一系列正交特征向量表出整个空间。）

Answer 1

对于非对称矩阵A, 其特征值可能出现虚数, 但不论如何总有
μ_min <= Re(λ) <= μ_max
其中μ_min和μ_max是(A+A^H)/2的最小最大特征值

所以对于n阶正定矩阵A而言, 不可能出现n个负特征值的情况

另外, 拥有完全正交特征向量系的矩阵就是正规阵, 这是充要的追问

也就是说此时对应的特征向量也有可能是复数域的了？
另外，要是只在实数域内求特征值，会出现什么结果啊？

追答

一般来讲特征值和特征向量当然可能出现虚的
限定在实数域上只不过多了一个λ=Re(λ)的条件, 上面的结论一样可以用

追问

还有一个问题。对于一个实正定阵A来说，任给一个n维实向量x，总存在一个实特征值λ，使得Ax = λx吗？

追答

你这个结论强得实在过分了, 怎么可能成立.
(如果你的结论成立, 那么任何实向量x都是A的特征向量!)
即使x不是给定的结论也不能成立, 因为实正定阵可以没有实特征值, 比如说
A=

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