可降阶的高阶微分方程

Question

有的题射p等于y导 p导等y导导 还有的题设p等y导 p导等于p倍的dp除dy 这两种情况我不知道什么情况下用哪种 希望大神指点迷津

Answer 1

二阶微分方程，如果题中有y'',y'和关于x的表达式f(x)而没有y,那么就是你说的第一种情况：令p=y',p'=y''直接转化为一阶微分方程；
如果题中有y'',y'和y的线性组合而没有f(x)，那么就令p=y'，p'=dp/dx=(dp/dy)·(dy/dx)=p·(dp/dy)

Answer 2

第一题是y''=f(x,y')型的，令p=y'，则dp/dx=y''，所以dp/dx=1+p^2，分离变量得dp/(1+p^2)=dx，两边积分得arctanp=x+C1，p=dy/dx=tan(x+C1)，所以y=-In|cos(x+C1)|+C2
第二题是y''=f(y,y')型的，令p=y'，则y''=pdp/dy，所以y^3*pdp/dy=1，pdp=dy/y^3，两边积分得p^2=-1/y^2+C1，p=dy/dx=±根号(-1/y^2+C1)，dx=±dy/(-1/y^2+C1)^(1/2)=±ydy/(-1+y^2C1)^(1/2)，两边积分得x=±[(C1y^2-1)^(1/2)/C1]+C2追问

为何y"=1+y'²答案用的是 f(x,y')行的， 按理用第二种