高数题目。求这个函数的极大值和极小值

Question

如题所述

Answer 1

lim<x→0+> y(x) = lim<x→0+> x^(3x) = lim<x→0+>e^(3xlnx)
= lim<x→0+>e^[3lnx/(1/x)] = lim<x→0+>e^[(3/x)/(-1/x^2)]
= lim<x→0+>e^(-3x) = 1 = lim<x→0-> y(x) = 1 = y(0),
则分段函数在 x = 0 处连续。
x > 0 时，y' = 3(1+lnx)e^(3xlnx) = 3(1+lnx)x^(3x), 得驻点 x = 1/e.
分段函数的分界点是 x = 0。
lim<x→0-> y'(x) = 1 > 0, lim<x→0+> y'(x) = -∞ < 0,
则 x = 0 是函数 y 的极大值点， 极大值 y = 1；
x = 1/e 两侧，y' 从 负变到正， 则 x = 1/e 是函数 y 的极小值点，
极小值 y = 1/e^(3/e).

Answer 2

追问

(x)^(3x)

Answer 3

点(3,-2)是函数f(x,y)=x²-y³-6x+12y+5的驻点，试判断是什么样的驻点？ 解：∂f/∂x=2x-6=0，故x=3； ∂f/∂y=-3y²+12=0，故y²=4；y₁=-2；y₂=2; 故有驻点M₁(3，-2)和M₂(3，2