关于定积分的上下限的问题

Question

关于定积分的上下限的问题如图～这个题的答案等于2pi～～感觉积分上下限相等的朋友就不要回答了是错的～

Answer 1

【你没有换元，只是分部积分，上下限无需变化。】

追问

令cosx=t，则x=arccost，这样算是换元了吧～～那么这样的话积分上下限怎么写呢？

追答

这么换元，就要注意了：原来的x∈[-π，π]；

换元：令cosx=t，则x=arccost，由于反余弦的值域为[0，π],

因此换元后的x∈[0，π]，这就把积分域缩小了一半。因此你一

定要这么换，那么先得把积分改造一下才能这么换，即：

如果不这么作，按另外的朋友说的分段来作，是否可以呢？下面我们试作一下：

你看：结果是0，显然是错的。原因就是：当x=-π时，cos(-π)没有反余弦。

即cos(-π)=cosπ=-1；而arccos(-1)=π≠-π.



追问

谢谢老师～我明白你的意思了！就是说在x变成arccost后相当于把原x的定义域变了～～

另外麻烦老师帮我看下一个类似的问题～题目很简单是我自己想的

楼上那位朋友说的积分变量要求单调～这个说法是否正确？我感觉那个说法是对的，但我在我们的教材上又没发现这个说法～

追答

楼上那位朋友说的：【由于x在[-π,π]内，cosx非单调，所以就要进行区间拆

分。因此分为[-π,0]，[0，π]两个区间积分】;①以被积函数非单调为由而要分

段积分是没道理的；②你的上题的那种替换，会出现上下限相同的情况，他

为了回避此情况就提出了分段积分一说，其实是找错了理由，同时也解决不

了问题，我在上面其实已回答了。上面的第二段回答就是针对他的。之所以

出现上下限相同的情况，是由于没搞清楚反余弦函数的值域造成的。你对自

己出的题，令x²=t，那么x=-1时t=1；x=1时t=1;  è¿™åˆå‡ºçŽ°ä¸Šä¸‹é™ç›¸åŒçš„情

况。上下限相同，积分为0. 这跟前面的问题一样：

x²âˆˆ[0，+∞)，积分域的一半[-1，0]不在其值域内。因此不能作x²=t这样的

替换。一定要这么换，必须把原积分作下改造：

f(x)=x^4在[-1，1]内也非单调，能不能分段[-1，0],[0，1]积分解决问题呢？

显然不行。道理与前面的问题一样：





Answer 2

凑微分法，并不是换元法，积分变量没有变，所以积分限不变追答

你要理解，只有换元法才换积分限

追问

令cosx=t，则x=arccost，这样算是换元了吧～～那么这样的话积分上下限怎么写呢？

追答

由于x在-π,π内，cosx非单调，所以就要进行区间拆分。因此分为-π,0个0，π两个区间积分，那么，这时候上下限你应该会写了吧

注意，我们定积分，要求积分变量一定要单调

追问

我觉得你说的是对的～积分变量要单调～～但这个有依据么？

追答

看一下定积分的几何意义

是求区间上函数与坐标轴所围面积，区间端点就是上下限

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Answer 3

这是第二类的曲线积分，不是定积分，下限表示起点，上限表示终点，这种写法说明该积分与路径无关，不管选什么路径来做积分，只要起点和终点固定，积分结果不会变化。这个内容在高等数学教材下册的“曲线积分与曲面积分”那一章中，如果你还没学到，就先不用管了。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 4

1、如果只是定积分的话，必是闭区间。但可以证明，改变定积分的有限个点的函数值
不影响可积性，也不影响积分值，因此其实改为开区间也没有问题。
2、如果只是涉及到定积分的不等式（就是不等式里只有定积分的值），
根据上面的结论知道没有影响的。
3、最好发一下具体问题，没有具体问题无法回答。