等比数列的解法有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

楼主、您好：求
通项公式
：
1.
叠加法
通常是形如An-（An-1）=k的形势，其中后面的k要么是常数，要么就是可以求和的
例如：已知数列An，An-（An-1）=n，A1=1，求An；
就可以这么写：
A2
-
A1=
2
A3
-
A2=
3
……
An
-
An-1
=n
全部加起来，就得到An-A1=（2+3+……+n），即可解出An。
这个办法的关键在于后面的k要可以求和。这里的2，3，4……是可以求和的。
等比数列
当然也可以，比如An
-
An-1
=2^n。
2.叠乘法
形如An
/
An-1
=k的
递推公式
可以用叠乘法，思路和上面一样，不过同样的，k要能够求积。
3.
前项
后项
之间的
线性关系
形如An
=
k【（An-1）】+b
的
递推关系
属于此类。解决方法是把它弄成一个等比数列。弄的办法是，把原式两遍加上m，使其满足：
An+m
=
k【（An-1）+（b+m）/k】
其中，（b+m）/k应该等于m
（因为我们想要把它弄成等比数列），解出m=b/（k-1），然后的事情你就会了吧。先把数列An
+
m的通项公式搞定，然后减去m就可以了。
4.构造辅助数列
在高考范围内，这个一般不会太难，主要的思想是把递推公式中不好处理、带n的东西弄成常数，然后剩下的事情是自然的事。
例如：An=
-
An-1
+
3^n，A1=0,求通项公式
这里面我们就可以把烦人的3^n除下去，让它变成常数。
然后是
An/3^n
=
-
An-1
/3^n
+1
这时有个思想：An和n一拨，An-1
和
n-1
一拨。右边的An-1
和n一拨，这不对，所以乘一个1/3出来，得到：
An
/3^n
=
-1/3（（An-1）/3^n+1）+1
看
明白了吧
，你不觉得眼熟吗？“前后项的线性关系”没错吧。按照那个思路，这道题
就解决
了。
其实一般的辅助数列他
都给你
造好了，那就更简单了。记住：只要在题目中看见“设Bn=……”，那么它再难也是简单题。原则就是一个：凑，方法是：看谁跟谁一拨。方法跟上面的一样。
求和主要就是列项和错位相减，列项适用于形如（1×2）分之1
+
（2×3）分之1这样，可以对消掉中间项的分式；而错位相见适用于一个
等差数列
与一个等比数列的乘积数列。如An=
n*(2^n），就可以用错位相减。方法是：先写几项，然后乘上公比，做差，计算中间等比数列的和，整理答案。
例如求上面的数列前N项和：
Sn=
1×2
+
2×4
+
3×8
+……+
n×2^n
2Sn=
1×4
+
2×8
+……+
（n-1）×2^n
+
n×2^(n+1)
上减下：-Sn=2+（4+8+……+2^n）-n×2^（n+1）
把中间的等比数列之和求出来，题目即可解出。
现在主要就是考察这些，知道这些方法后，他难不住你的。
希望能够帮到您。