三道高中导数数学题~（在线等）

Question

1.y=根号下(1-X)+根号下(3+x) 的最大值为M,最小值为m，则m/M的值为？
2.函数g(x)=Rx+sin(x）是区间在[-1,1]上的减函数。求R的取值集合A
3.方程x+log2(x)=2和x+log3(x)=2的根分别为 a ,b 则a,b的大小关系为？
（过程详细的我多给分~ 尽快喽~ 谢谢各位）

Answer 1

1解:
方法一：常规解法
y=√(1-X)+√(3+X)
定义域:
1-X>=0,3+X>=0
解得: -3<=X<=1
y=√(1-X)+√(3+X)的值始终大于0,两边平方得:
y^2=1-X+3+X+2*√(1-X)*√(3+X) =4+2*√[(1-X)*(3+X)]
因为:0<=2*√[(1-X)*(3+X)]<=[√(1-X)]^2+[√(3+X)]^2=4
故:
当2*√[(1-X)*(3+X)]=0时,此时X=1或X=-3时
y^2取得最小值,即y^2min=4,又y>=0,
得ymin=2
当2*√[(1-X)*(3+X)]=4时,此时1-X=X+3,即X=-1时
y^2取得最大值,即y^2max=8,又y>=0,
得ymax=2√2
解得:
m/M=ymin/ymax=1:√2

方法二：利用基本不等式解题
a^2+b^2 <=(a+b)^2<=2(a^2+b^2)
令a=√(1-X),b=√(3+X)代入上式
即： 4=1-X+3+X<= y^2<=2(1-X+3+X)=8
因为：y=√(1-X)+√(3+X)的值始终大于0
得到：
2<=y<=2√2 即可求出 m/M＝1：√2

2解:
函数g(x)=Rx+sin(x）是区间在[-1,1]上的减函数,
则g'(x)<=0
即:g'(x)=R+cosx<=0
得R<=-cosx
所以只需 -cosx取最小值,
则cosx在定义域上取最大值,
因为cosx在区间[-1,1]最大值为cos0=1
所以R<=-cosx=-1
即:R<=-1
R的取值集合A={R|R<=-1}

3解:
方程x+log2(x)=2和x+log3(x)=2的根分别为 a ,b
有:
a+log2(a)=2 ......①
b+log3(b)=2 ......②
根据函数y=logx的定义域知:
a>0,b>0
①-②得
a-b+log2(a)-log3(b)=0
移项化间得:
a-b=log(3b/2a)

分情况讨论(用反证法):
(1):假设a-b>0,则log(3b/2a)>0
a-b>0,推出a>b>0,则有:0<b/a<1;
log(3b/2a)>0,推出3b/2a>1,则有2/3<b/a;
取a>b>0,0<b/a<1与2/3<b/a的交集;
所以当2/3<b/a<1时假设成立;
故a,b的大小关系为,
a>b>0且2/3<b/a<1.
(2):假设a-b<0,则log(3b/2a)<0;
a-b<0,推出0<a<b,则有:1<b/a;
log(3b/2a)<0,推出3b/2a<1,则有b/a<2/3;
因1<b/a与b/a<2/3矛盾;
故假设不成立;
故只能有:
a>b>0 .
综上得到a,b的大小关系为:
a>b>0且2/3<b/a<1.

Answer 2

1.利用 a^2+b^2 ≤(a+b)^2≤2(a^2+b^2)

得： 4≤y^2≤8 (因为 y>0)
2≤y≤2√2 即可求出 m/M＝(√2)/2

2.g'(x)=k+cosx<0在[-1,1]上恒成立
k<-cosx 因为 -cosx在区间[-1,1]上的最小值是-1
故 k<-1

3.用数形结合x+log2(x)=2 得log2(x)=2 -x
故画出 y=2-x 和y=log2(x) 、y=log3(x)的图像，交点的横坐标就是a、b
易得：a<b