高中数学题目（导数）

Question

1.设函数f(x)=cos3x+sin2x-cosx，最大值？（“3”“ 2”都是指数 即cosx的三次方等）
2.点p是曲线y=x*x-lnx上任意一点，则点p到直线y=x+2的距离最小值？

Answer 1

1、f(x)=cosx^3+sinx^2-cosx＝cosx^3+1-cosx^2-cosx=(cosx^2-1)(cosx-1)
=(cosx-1)(cosx+1)(cosx-1)=(cosx-1)^2*(cosx+1)≤[(1-cosx)^4+(1+cosx)^2]/2，
当且仅当(1-cosx)^2=(1+cosx)时取得最大值，cosx=0或3(舍去)
所以最大值为1

2、与直线平行的切线之间距离最短。原函数定义域为：（0,+∞）
y`=2x-1/x=1,x=-0.5（舍）或1,代入原函数求y=1
P（1,1）到y=x+2距离用点到距离公式求出：√2

Answer 2

解1: 化简: f(x)=1-(cosx)^2-cosx[1-(cosx)^2]
=[1-(cosx)^2](1-cosx)
=(1-cosx)^2(1+cosx)
<=[(1-cosx)^4+(1+cosx)^2]/2
当且公当(1-cosx)^2=(1+cosx)时取得最大值
=>cosx=0或3(舍去)
所以最大值为1