求解请为二阶常系数齐次线性微分方程，已知两特解，怎么根据新的初始条件求另一个特解呢，题目如图所示！

Question

第四题，求大佬解惑!

Answer 1

这个你必须根据常微分方程解的各种组合情况来判断,满足这种特解的通解只能是
y = c1 x +c2　e＾x
然后带入特解条件分别求出c1，c2即可

Answer 2

此题有问题…如果y2改为xeˣ,会有结果

Answer 3

解：∵微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程

∴设微分方程为y"+by'+cy=0 又∵微分方程有特解

y₁=eˣ，y₂=x ∴有eˣ+beˣ+ceˣ=0，0+b+cx=0；b、c无解 ∴题目有问题，微分方程可能为二阶常系数非齐次线性微分方程 ∴设微分方程为y"+by'+cy=f(x)，有

eˣ+beˣ+ceˣ=f(x)，0+b+cx=f(x)，化为1+b+c=f(x)eˣ，b=f(x)-cx，b、c、f(x)无解

只有一种可能了，微分方程为为二阶非常系数齐次线性微分方程，设微分方程为y"+f(x)y'+g(x)y=0，有

eˣ+f(x)eˣ+g(x)eˣ=0，0+f(x)+g(x)x=0，化为

f(x)+g(x)=-1，f(x)+g(x)x=0，得：g(x)=1/(x-1)，

f(x)=x/(1-x) ∴微分方程为y"+xy'/(1-x)+y/(x-1)=0，

(x-1)y"-xy'+y=0，(x-1)y"-(x-1)y'-y'+y=0，

(x-1)(y"-y')-(y'-y)=0 ∴设y'-y=u，微分方程化为

(x-1)u'=u，u'/u=1/(x-1)，ln|u|=ln|x-1|+ln|a|(a为任意非零常数)，u=a(x-1)，有y'-y=a(x-1)，y'e⁻ˣ-ye⁻ˣ=

a(x-1)e⁻ˣ，(ye⁻ˣ)'=a(x-1)e⁻ˣ，ye⁻ˣ=-axe⁻ˣ+c(c为任意常数)，方程的通解为y=-ax+ceˣ

∵y(0)=1，y'(0)=2 ∴有1=c，2=-a+c，得：a=-1，

c=1 ∴微分方程的特解为y=x+eˣ

请参考

二阶非常系数齐次线性微分方程有特解，y₁=eˣ，y₂=x∵eˣ与x线性无关 又∵微分方程为二阶微分方程 ∴有微分方程的通解y=ax+ceˣ(a、c为任意常数) ∵y(0)=1，y'(0)=2 ∴有a=1，c=1 ∴微分方程的特解为y=x+eˣ