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    • 线性代数中秩的证明

    设A为n阶方阵，且A^2=A，若R(A)=r，证明：R（A-E）=n-r.。其中E为n阶单位阵

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    推荐答案   2009-04-30
    由A^2=A,得A^2-A=0,(A-E)A=0.
    两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,故由(A-E)A=0得,R(A-E)+R(A)≤n.两矩阵之和的秩不小于两矩阵秩之和,故由(E-A)+A=E,得n=R(E)≤R(E-A)+R(A),R(E-A)=R(A-E),n≤R(A-E)+R(A),
    故R(A-E)+R(A)=n.
    即R(A-E)=n-R(A)=n-r.
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