Coulomb强度准则及回归公式

Question

如题所述

Answer 1

3.1.1 Coulomb 强度准则

常规三轴试验是确定岩石材料力学性质的重要方法。通过作出岩样破坏时主应力Mohr 圆的包络线，就能得到岩石材料的强度准则。目前岩体工程领域内，Coulomb 强度准则在压应力状态下得到了普遍应用，认为岩石承载的最大剪切应力τ_S由粘聚力c和内摩擦力确定，

τ_S=c+μσ （3.1）

式中：μ是内摩擦力系数，μ=tanφ；φ是内摩擦角；σ是破坏面上的正应力。从图3-1的Mohr应力圆可以确定，在最大主应力σ₁和最小主应力σ₃满足

岩石的力学性质

图3-1 Mohr应力圆和Coulomb强度准则适用范围

a—剪切应力的Coulomb准则；b—主应力的Coulomb准则

时，在倾角a=45°+φ/2的截面上，剪切应力和正应力满足Coulomb强度准则（3.1），解得

岩石的力学性质

因而，Coulomb强度准则可以主应力表示为

σ_S=Q+Kσ₃ （3.4）

简记为T（Q，K），式中，Q和K是强度准则参数，与内摩擦角和粘聚力的关系是

K=tan²a （3.5）

Q=2ctana （3.6）

3.1.2 应力状态

Coulomb强度准则认为在正应力为零时，岩石的抗剪强度是粘聚力c。不过，在正应力为零即图3-1a中虚线圆时，最小主应力是拉应力

σ₃=-ccota=-Q/（2K） （3.7）

相应的最大主应力σ₁=ctana=Q/2。该应力状态对应于图3-1b中的A点。

一般岩石的围压影响系数K在3～6之间，而岩石的抗拉强度较低，通常低于岩石单轴抗压强度的1/12，因而由公式（3.7）可以知道，岩样在A点将会发生拉伸破坏，而不会出现剪切破坏。即岩石不可能产生纯剪破坏。在第1章1.4节中已经说明，对于双面剪切和直接剪切试验，试样破坏断面承受的载荷并非均匀的剪切应力，因而试样承载的峰值应力与岩石的剪切强度或粘聚力并不相同。这就是说，Coulomb强度准则的粘聚力c是回归公式的外推值，并不是一个直接测量的试验结果。

3.1.3 线性回归公式

对实验室的常规三轴压缩试验而言，公式（3.4）的确切含义是，一个给定岩样能够承载的最大轴向应力σ_S与围压σ₃呈线性关系。但岩样强度是破坏试验得到的，每一个岩样只能得到一个围压下的强度。围压变化时，岩样也发生变化。因而尽管公式（3.4）只有两个参数，也需要由多个岩样不同围压下的三轴强度σ_S回归分析得到。一般规程要求，试样的数量不得少于5个，围压宜按等差级数进行分级，也可按等比级数分级，分级数不得少于5级。为了减少岩样间差异产生的影响，有时也进行重复试验。

线性回归的方法^［10］简述如下。

X是自变量，Y是因变量。通过试验得到n对数据（X_i，Y_i），以线性关系

Y=Q+KX （3.8）

回归这些数据时，利用最小二乘法

δ=∑［Y_i-（Q+KX_i）］²

达到最小，即δ关于K、Q的导数为零，可以确定

岩石的力学性质

Q=（∑Y_i-K∑X_i）/n（3.9b）

回归的相关系数

岩石的力学性质

上述各式中的Σ都是对下标i从1到n求和。

需要说明的是，在各围压下重复试验的次数不同时，不能先求出每一围压下岩样强度的平均值再线性回归确定T（Q，K），而应将每个岩样的强度都作为独立的参数进行回归，以体现每个岩样所表现的材料非均质性。此外，相关系数的高低并不能完全证明回归参数反映了岩石的力学性质。这将在后面第3章3.7节予以说明。

3.1.4 过度拟合必将失真

现在，计算机的普及以及Excel、Matlab等分析软件的便利，对试验数据可以迅速进行多种计算、绘图和曲线拟合，给出各种形式的公式。这在二三十年前是难以想象的。不过，有时对拟合公式本身缺乏研究和理解，没有明确其物理含义和适用范围；或为了追求拟合精度选用参数过多的复杂公式；或对同组试验的各个曲线进行一一拟合，得到多组拟合参数。由此得到的拟合公式可能失去应用价值乃至完全不符合事实。

假设利用直径D=45mm、50mm、55mm，长径比为2的三组试样进行常规三轴压缩试验，得到不同围压σ₃下试样轴向极限载荷F（图3-2）。需要说明的是，这些数据并非真正的试验结果，而是利用公式F=0.25πD²（η+50+3.5σ₃）产生的，式中η是-10～10之间的随机数，表示试样之间的差异对承载能力的影响。就岩石力学实验而言，图3-2中数据的离散性是相当低的。这里试样直径D是参变量；围压σ₃是自变量，极限载荷 F 是因变量，两者大致呈线性关系，具体关系受到参变量 D 的影响。如果利用Coulomb准则来描述岩石的强度特性，则有

σ₁=F/（0.25πD²）=Q+Kσ₃ （3.10）

式中Q和K是模型参数。图3-2的数据也相应转换为图3-3的强度与围压关系，可以更清楚地看出数据的离散程度。

图3-2 不同直径试样承载的最大轴向荷载与围压的关系（假想数据）

图3-3 不同直径试样强度与围压的关系及2次多项式拟合

利用公式（3.10）分别对三组数据进行最小二乘法的线性回归，得到的模型参数Q和K在表3-1 给出。尽管实验数据具有明显的离散性，但回归得到的模型参数差别不大。如果将全部数据作为一组进行联合回归，得到的参数Q=49.0和K=3.608，与生成数据的50和3.5差距不大。毫无疑问，Coulomb准则可以适用于不同直径试样的强度与围压的关系。至于模型参数Q和K随参变量D的变化，可能是参变量的作用，也可能是试验误差引起的，目前无法判断，需要进行更多、更仔细的试验。就实际应用而言，完全可以利用所有数据确定的Q=49.0和K=3.608来预测不同直径试样的强度。

表3-1 不同回归方式得到的试验结果的拟合参数

如果认为利用线性关系没有充分拟合试验数据，而利用二次多项式

岩石的力学性质

来拟合，相关参数也在表3-1 给出。显然，线性公式只是二次多项式的特殊形式，后者肯定对试验数据具有更好的拟合精度，但3组数据得到的参数差别增大，且二次项的系数正负不同，具有定性的差别。具体地说，对于没有进行试验的参变量D，其强度与围压的关系即公式（3.11）完全不能了解。我们不能认为公式（3.11）是一个力学模型，更不能说表3-1 中参数a₀、a₁、a₂随参变量D的变化是岩石强度的体积效应。从图3-3给出的D=45mm和50mm两组数据的回归曲线可以看出，拟合曲线只是在试验范围内具有很好的精度，并不能外推到试验范围之外。

增加拟合公式中的待定参数可以提高拟合精度。n对数据（x_i，y_i）即平面上的n个点，有n-1次多项式完全通过，具体形式可以用公式（3.12）表示。图3-2 中给出一个通过7个试验点的6次多项式。

岩石的力学性质

如果要求拟合公式或曲线完全通过给定数据或过分接近给定数据，拟合公式可能出现病态，所谓“过度拟合必将失真”。这是因为试验结果或因变量y并不完全是由单一的试验控制参数或自变量x决定，还受到其他多种因素的影响。如果试验控制参数是试验结果的主要影响因素，那么拟合公式应该反映整体变化规律，与试验结果的差异是其他因素，通常是一些不可控制的试验条件引起的。试验结果y的变化不完全由试验参数x引起的，拟合公式也应该体现这一物理事实。更为详细的论述参见拙稿“试验结果的数学拟合与力学模型”。

拟合公式应该具有物理基础，公式中待定参数最好能够表示材料的某种力学性质。Coulomb准则是处理试验结果的典范：以粘聚力和摩擦力构成的剪切承载力在特定倾角的截面达到极值，据此解释岩样强度与围压之间的线性关系。