已知函数f(x)对任意实数x均有f(x+5)=f(x),当x∈【-1,1】时，f(x)是正比例函数

Question

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x+5)=f(x),当x∈【-1,1】时，f(x)是正比例函数，当x∈[1,4]时，f(x)是二次函数，且在x=2时f(x)取最小值-5
（1）证明f(1)+f(4)=0
(2)求出f(x)在【-4,4】的表达式

Answer 1

(1)设f(x)=kx(-1<=x<=1，k∈R) 当x=1时，f(1)=k， 因为对任意实数x均有f(x+5)=f(x)，所以
f(4)=f(-1)=-k 所以f(1)+f(4)=0
(2)设f(x)=ax^2+bx+c(1<=x<=4)对称轴为x=-b/2a，因为当x=2时，f(x)取最小值，所以-b/2a=2，所以b=-4a，f(2)=4a+2b+c=c-4a=-5，所以c=4a-5，f(4)=16a+4b+c=4a-5，f(1)=k=a+b+c=a-5
所以f(-1)=-k=-(a+b+c)=5-a,所以f(4)=5-a 5-a=4a-5解得a=2，b=-8，c=3，k=-3，由f(x+5)=f(x)得，周期为5，[-1,4]是一个周期，所以f(x)=2(x+5)^2-8(x+5)-3=2x^2+12x+13(-4<=x<=-1)
f(x)=-3x(-1<x<=1) f(x)=2x^2-8x+3(1<x<=4)