极限定义为什么要下？高手救命呀，小弟新手不太懂（刚学高数的）

Question

.若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切 不等式
｜Xn - a｜< ε
都成立，那末就称常数a是数列 的极限，或者称数列 收敛于a ！

为什么要说这么一长串呢？为什么不能说成：这个数列的第无穷项的值，如果这个值是a，那么就说极限是a！
这样大家也都好理解呀，为什么说得那么麻烦呢？而且那个什么N和ε感觉根本没用啊！高手救命！

Answer 1

无穷是什么?
这个名词根本不准确

严密性的定义 可以不用说的这么复杂
其实可以这样说
你划一个数线好了
标上点x1 x2 x3 x4.... 还有他的极限a(你可以先用原来的方法 求出a 以求理解)

任取一个值叫做ε 但是一定要是正的
你的数列 叫做x1 x2 x3 x4....一直下去
然后 若你能找到数列中的第n项Xn
a和Xn距离小于ε 而且 以后的数列和a的距离 也都小于ε，那么 a就是这个数列的极限

科科 这样说的好复杂
我举个例子
x1 x2 x3 x4 ε取3

我发现
x4和a的距离小于3(ε) x5 x6 x7 x8...以后的数列和a的距离也都小于3(ε)
然后ε取2 我发现x6以后的数列都小于2(新的ε)
反正 不管你ε怎么取 你都可以找到一个起始点还有起始点的后面 他和a的距离都小于ε
那我跟你说 a必定是他的极限

讲的有点复杂
如果再听不懂
这样说好了
只要找到数列的一个起始点(例如x5) 然后他以后的数列(x5 x6 x7 x8 x9....)和a的距离 要多小就有多小 但是不是0 那a就是他的极限了

你可以自己画一个数线 标上 极限 数列 体验看看

当然 这个极限 必定是唯一的
我的讲法有点循环论证 但是 可以体验一下看看

参考资料：狸猫脑

Answer 2

我来解释一下吧，ε-N语言描述极限的方法大致上是说当自变量n充分大的时候，Xn和a可以无限接近。
ε刻划了Xn与a接近的程度，而N刻划了n充分大的程度，所以N与ε有某种关系，一般来说，ε越小，则所必须的N就越大，一般可以理解成N是ε的函数，表示成N=N(ε)的形式。
你说的无穷项到底要n等于多大才是无穷啊？无穷本来就不好理解。而且数列值不一定求的出啊！开始接触概念都很生硬的，多多理解就好了。

Answer 3

那是极限的定义。你能不能说清楚数列的第无穷项到底是第几项？恐怕这个问题谁都说不清楚吧。比如，数列1/n，lim（1/n)=0显然吧，但是你随便说一个整数m，1/m 都不等于0，难道你能说极限不是零？

至于Hilbert引进的极限的定义，不但解决了长期以来困扰数学家如何准确的定义极限的问题（比如证明与极限有关的定理），更解决了极限不存在的问题。比如数列1，-1，1，-1，1，-1，......你说它的第“无限项”是什么？1和-1都不对吧。然而通过极限的定义可以准确的说明极限不存在。

为了让你明白一下ε和N的重要性，你不妨看看这个例子：求证：lim [(1+1/2+1/3+...+1/n)/n] = 0,n->∞，用你的第无穷项的“定义”你能求出来么？理论上不能，但是通过ε-N语言就能很容易的求出来。

Answer 4

是为了叙述的严密性，才引入N和ε的。实际上，这些东西我都是看一遍就略过了，没什么意思。
考试是不会让你用定义证明的。（应试教育，不要批我）

Answer 5

没有第无穷项,数学比较严谨,这是柯西收敛准则,可以把一段抽象的话用数学语言描述出来,由此能用来进行其它定理得证明