初次学高数，数学白痴。有些不懂的地方想请教各位。关于利用定义证明极限存在。 问题一：图片中这道例题

Question

初次学高数，数学白痴。有些不懂的地方想请教各位。关于利用定义证明极限存在。
问题一：图片中这道例题为什么要写1/（n+1）^2＜1/n^2 直接用1/（n+1）^2不行吗？
问题二：有些辅导书会写 设（ε＜1）,这道题的解题步骤中为什么没有写？有必要写吗？

Answer 1

直接用1/（n+1）^2来计算当然是可以的。
主要是1/n^2计算起来比1/（n+1）^2容易。
而定义中只是要求对于任何正数ε，都能找到一个N，当n＞N的时候，|xn-0|＜ε。但是并不要求求出满足要求的最小的N
所以用方便计算的1/n^2来算出一个较大的N，并不违反定义。
当然就此题而言1/（n+1）^2的计算比1/n^2略微复杂一点，但是也没复杂多少。
但是有些题目中，原式子可能复杂到几乎无法直接计算出来，而将式子扩大点，却反而很容易计算了。
这个题目是肯定不用写ε＜1的。没啥意义。也没想明白，啥题目中，会有需要些ε＜1。一般是用定义证明数列或函数没有极限，那么就是找到某个ε（一般就是小于某个正数的ε），使得定义中规定的N无法得到。这时候就会有ε＜k（k是某个确定的正数）出现。