解：
第一问
y'
=(lnx/x)'
=(1-lnx)/x²
依题意，得：
k=y'|(x=1)=1
直线方程：y=x-1
第二问：
令g(x)=lnx/x-(x-1)(x>0)
g'(x)
=[lnx/x-(x-1)]'
=(1-lnx)/x²-1
=(1-lnx-x²)/x²
(1)0<x<1时
1-lnx-x²
=(1-x)(1+x)+(-lnx)
>0
∴ g'(x)>0
∴ g(x)在(0，1)上单调递增
(2)x>1时，
lnx+x²>0+1=1
∴(1-lnx-x²)<0
∴ g'(x)<0
∴ g(x)在(1，+∞)上单调递减
(3)x=1时，
lnx+x²=0+1=1
∴ (1-lnx-x²)=0
∴ g'(x)=0
综上，
g(x)在x=1处取得极大值，同时也是最大值
g(x)_max=g(1)=0
∴ lnx/x-(x-1)≤0
∴ lnx/x≤x-1
即，
除切点(1，0)外，lnx/x的图像全部在直线L的下方
证毕。追答
第一问
y'
=(lnx/x)'
=(1-lnx)/x²
依题意，得：
k=y'|(x=1)=1
直线方程：y=x-1
第二问：
令g(x)=lnx/x-(x-1)(x>0)
g'(x)
=[lnx/x-(x-1)]'
=(1-lnx)/x²-1
=(1-lnx-x²)/x²
(1)0<x<1时
1-lnx-x²
=(1-x)(1+x)+(-lnx)
>0
∴ g'(x)>0
∴ g(x)在(0，1)上单调递增
(2)x>1时，
lnx+x²>0+1=1
∴(1-lnx-x²)<0
∴ g'(x)<0
∴ g(x)在(1，+∞)上单调递减
(3)x=1时，
lnx+x²=0+1=1
∴ (1-lnx-x²)=0
∴ g'(x)=0
综上，
g(x)在x=1处取得极大值，同时也是最大值
g(x)_max=g(1)=0
∴ lnx/x-(x-1)≤0
∴ lnx/x≤x-1
即，
除切点(1，0)外，lnx/x的图像全部在直线L的下方
证毕。追答
第一张图片是y=lnx/x的函数图像。
再附上
g(x)=lnx/x-(x-1)的图像
为什么g(x)在x=1处取得极大值，同时也是最大值呢
追答因为，
g(x)在整个定义域上先递增， 在x=1处达到 极大值，然后递减。
因此，此极大值也是g(x)的最大值
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2016-03-30
为什么g(x)在x=1处取得极大值，同时也是最大值呢
追答因为先增后减，。。。
You're welcome.
本回答被网友采纳第2个回答 2016-03-30
第一个减去第二个然后求导追问
思路分析+解题过程
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