设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，都有2Sn=（n＋1）an 求数列{an}的通项公式

Question

设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，都有2Sn=（n＋1）an
求数列{an}的通项公式
若数列{4╱an（an＋2）}的前n项和为Tn，求证1╱2≤Tn＜1

Answer 1

解：

(1)

n≥2时，

2an=2Sn-2S(n-1)=(n+1)an-na(n-1)

(n-1)an=na(n-1)

an/n=a(n-1)/(n-1)

a1/1=2/1=2，数列{an/n}是各项均为2的常数数列

an/n=2

an=2n

n=1时，a1=2×1=2，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=2n

(2)

4/[an(an+2)]=4/[2n×(2n+2)]=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)

Tn=1-½+½-⅓+...+1/n -1/(n+1)

=1- 1/(n+1)

1/(n+1)>0，1- 1/(n+1)<1

随n增大，n+1单调递增，1/(n+1)单调递减，1-1/(n+1)单调递增，当n=1时，

1- 1/(n+1)有最小值=1- 1/(1+1)=½

综上，得½≤Tn<1

Answer 2

我会