大学高等数学 求幂级数的收敛域及其和函数 求详解

Question

如题所述

Answer 1

你好！可以如下图讨论收敛域，并用求导求积法计算出和函数。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 2

收敛半径 R = lim<<n→∞>a<n>/a<n+1>
= lim<<n→∞>(n+1)2^(n+1)/(n2^n) = 2,
x = 2 时， 级数为 ∑<n=1,∞>1/(2n), 发散；
x = -2 时， 级数为 ∑<n=1,∞>(-1)^(n-1)/(2n), 收敛。
则原级数的收敛域是 x∈[-2，2).
记 S(x) = ∑<n=1,∞>x^(n-1)/(n2^n)
得 S(0) = 0;
当 x ≠ 0 时，
S(x) = (1/x)∑<n=1,∞>x^n/(n2^n) = S1(x)/x,
[S1(x)]' = ∑<n=1,∞>x^(n-1)/(2^n)
= (1/2)∑<n=1,∞>(x/2)^(n-1)
= (1/2)/(1-x/2) = 1/(2-x), x∈[-2，2).
S1(x) = ∫<0, x> [S1(t)]'dt +S1(0) = ∫<0, x> dt/(2-t)
= ln2 - ln(2-x) = ln[2/(2-x)], x∈[-2，2).
S(x) = (1/x) ln[2/(2-x)] , x∈[-2，2).