高数题：求由方程x^2+2xy+2y^2=1所确定的y=y(x)的极值。

Question

如题所述

Answer 1

解：
可以用主元法的思想来解这道题。
把x作为主元，整理，得
x²+2yx+2y²-1=0
这个方程有实数根（否则x取不到值）
Δ=4y²-4(2y²-1)
=4y²-8y²+4
=4-4y²≥0
y²≤1
所以-1≤y≤1
y的极小值是-1，当x=1时取得。
y的极大值是1，当x=-1时取得。

如仍有疑惑，欢迎追问。 祝：学习进步！追问

能不能用导数解呀？老师

追答

您好！用隐函数求导应该可以做。不过我现在休息了手机不方便输入各种符号，所以明天再为你详细解答好吗？

追问

好的，非常感谢，晚安

追答

首先个人不推荐用求导做。用初等方法就可以轻松解决的问题何必复杂化。
不过作为学习，可以尝试一下。

对x^2+2xy+2y^2=1两端同时取导数
注意到y是关于x的函数，所以需要用到复合函数求导法则
2x+(2y+2xy')+4yy'=0
x+2y+2xy'+4yy'=0
(x+2y)+2y'(x+2y)=0
(x+2y)(1+2y')=0
x+2y=0 or 1+2y'=0
y=-x/2 or y'=-1/2
对于y=-x/2，两端求导，同样有y'=-1/2
所以y单调减。

到此得出了y随x减的关键结论。但是无可避免地，还是要去面对函数y定义域的问题，因为用导数求极值，必须知道定义域才行，也就是说需要知道x的取值范围。

但是x的范围如何求解。注意到x和y的“地位”基本上是对等的，假如有一种方法能够求出x的取值范围，那么用这种方法做类似的处理，就能够得出y的取值范围，也就是求出了y的极值。

我想说的是，与其去求出x的取值范围后，根据y(x)的单调减性质求出y的极值，还不如直接简单方便地去求出y的取值范围，从而求出y的极值。
所以，我认为，这道题用求导的方法解很不科学= =，希望你理解！