对数是什麼

Question

如题所述

Answer 1

对数的概念
　　如果a的n次方等于b（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底b的对数，记做n=loga的b次方，也可以说log（a）b=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 　　相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞)。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是(0，1)∪(1，+∞)。一般默认当a=10时，写作：lgb=n。
编辑本段对数的性质及推导
定义
　　若a^n=b(a>0且a≠1) 　　则n=log(a)(b)
基本性质
　　如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： 　　1、a^log(a)(b)=b 　　2、log(a)(a)=1 　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　 第5条的公式写法
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n 　　（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）
推导
　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 　　2、因为a^b=a^b 　　令t=a^b 　　所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 　　令b=1，则1=log(a)(a) 　　3、MN=M×N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 　　4、与（3）类似处理 　　M/N=M÷N 　　由基本性质1(换掉M和N) 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 　　5、与（3）类似处理 　　M^n=M^n 　　由基本性质1(换掉M) 　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 　　由指数的性质 　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 　　又因为指数函数是单调函数，所以 　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 　　基本性质4推广 　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 　　推导如下： 　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　换底公式的推导： 　　设e^x=b^m,e^y=a^n 　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y 　　x=ln(b^m),y=ln(a^n) 　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 　　由基本性质4可得 　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 　　再由换底公式 　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）
编辑本段函数图象
　　1.对数函数的图象都过(1,0)点. 　　2.对于y=log(a)(n)函数, 　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1. 　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1. 　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
编辑本段其他性质
性质一：换底公式
　　log(a)(N)=log(b){N}/og(b){a} 　　推导如下： 　　N = a^[log(a){N}] 　　a = b^[log(b){a}] 　　综合两式可得 　　N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 　　又因为N=b^[log(b){N}] 　　所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 　　所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的] 　　所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}
公式二：log(a){b}=1/log(b){a}
　　证明如下： 　　由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数 　　log(a){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1 　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。例如lg10=1, lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/356.htm

Answer 2

如果a的n次方等于b（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底b的对数，记做n=loga的b次方，也可以说log（a）b=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 　　相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞)。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是(0，1)∪(1，+∞)。一般默认当a=10时，写作：lgb=n。

Answer 3

楼上的回答好像很专业，我解释一下，就是说知道幂和底数，求指数，他和开方都是乘方的逆运算