第1个回答 2011-10-30
1(1) y'=f'(sin^2(x))*(sin^2x)'+cos(f^2(x))*(f^2(x)
=2sinxcosxf'(sin^2(x))+2f(x)f'(x)cos(f^2(x)).
(2) y'=[f(e^x)]'e^[f(x)]+f(e^x){e^[f(x)]}'
=e^xf'(e^x)e^[f(x)]+f(e^x)e^[f(x)]f'(x)
=f'(e^x)e^[x+f(x)]+f'(x)f(e^x)e^[f(x)].
2. y=(sinx)^lnx=e^[lnx *lnsinx]
y'=e^[lnx *lnsinx]*[(1/x)lnsinx+(cosx/sinx)lnx]
=(sinx)^lnx[(lnsinx)/x+cotxlnx]
3. 两边导得
2yy'f(x)+y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x=0
解得
dy/dx=y'=-[y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x]/[2yf(x)].
或者用公式法:
令F(x,y)=2yy'f(x)+y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x
则dy/dx=-F'x/F'y=-[y^2f'(x)+f(x)+xf'(x)-2x]/[2yf(x)].
4. 因为函数在x=0处二阶导数存在,所以一阶导数也存在且连续,于是函数在x=0连续
于是左右极限都存在且都等于f(0)=0, 而左极限为c, 所以c=0.
当x>0时f'(x)=1/(x+1) , 当x<0时, f'(x)=2ax+b
至于在x=0点处,因为连续函数可导,所以左右导数都存在且相等.
由左右导数的定义, 函数在x=0点的左导数为
lim(x-->0+)[f(x)-f(0)]/[x-0]=lim(x-->0+)(ax^2+bx)/x=b,
函数在x=0点的右导数为
lim(x-->0-)[f(x)-f(0)]/[x-0]=lim(x-->0-)(ln(1+x))/x=1,
于是b=1, 且f'(0)=1
因为函数在x=0处的二阶导数存在,所以二阶左导数和二阶左导数也存在且相等.
而二阶右导数为
lim(x-->0+)[f'(x)-f'(0)]/x=lim(x-->0+)[1/(x+1)-1]/x=lim(x-->0+)[-x/(x+1)]/x=-1
而二阶左导数为
lim(x-->0-)[f'(x)-f'(0)]/x=lim(x-->0+)[2ax+b-1]/x=lim(x-->0+)(2ax)/x=2a
于是2a=-1,所以a=-1/2.
最后得a=-1/2,b=1,c=0.