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    • 证明AB与BA有相同特征值 A,B为N阶方阵,A可逆,证明AB与BA有相同的特征值.

    如题所述

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    推荐答案   2021-04-24

    简单计算一下即可，答案如图所示

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    第1个回答  2019-03-26
    AB～A^{-1}(AB)A=BA,因而特征值都相同
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    AB都是n阶矩阵,且A可逆,证AB与BA有相同特征值答：因为A可逆 所以 A^-1(AB)A = BA 所以 AB 与 BA 相似 所以 AB与BA有相同的特征值.
    如何证明AB与BA有相同的特征多项式?答：Bx是BA的特征向量，t也是BA的特征值反之BAy=ky ABAy=kAy 同样k是AB的特征值，所以AB与BA有相同特征值 A和B为n阶方阵所以AB的特征多项式为x^m(x-t1)(x-t2)...（x-ts) m+s=n 而BA的特征多项式为x^h(x-t1)(x-t2)...（x-ts) h+s=n 所以m=h 所以AB与BA有相同的特征多项式 ...
    A,B是n阶方阵,求证:AB 与 BA有相同的特征值。答：LS的..由于A不一定可逆,所以AB～A^{-1}(AB)A=BA的解答有缺陷 详细解答请见下图 注意关于特征值是否为零的分类讨论是必要的
    设A,B是n阶矩阵,证明:AB与BA具有相同的特征值答：只需证明：若λ是AB的特征值，则λ也是BA的特征值。分两种情况：(1)λ≠0。由λ是AB的特征值，存在非零向量x使得ABx=λx。所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx，且Bx≠0（否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾）。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA的特征值。(2)λ=0。
    对任意n阶方阵AB,求证AB与BA有相同的特征值和相同的特征多项式答：如果AB与BA的阶数不同的话，AB与BA不可能有相同的特征值和相同的特征多项式 见以下定理：
    设A,B皆为n阶方阵,证明AB,BA有相同的特征值答：两边用B左乘，BA(BXi)=λi(BXi)，所以BXi是BA属于λi的特征向量，这说明AB的特征值必是BA的特征值，同理BA的特征值必是AB的特征值。若λ=0是AB的特征值，则|0E-BA|=(-1)^n|B||A|=(-1)^n|A||B|=|0E-AB|，所以λ=0也是BA的特征值。综上，AB与BA有相同的特征值。
    ...B为n阶矩阵,且AB有n个不相等的特征值,证明:AB与BA相似于同一个对角...答：根据AB与BA有相同的特征多项式 得到AB与BA有相同的特征值 AB有n个不相等的特征值,所以BA也有n个不相等的特征值,所以AB,BA相似于同一个对角矩阵 所以AB,BA相似.
    设a与b都是n阶方阵,且a与b相似,证明a与b的特征多项式相同答：即证明矩阵A与矩阵B有相同的特征值 设矩阵A有特征值λ,特征值λ对应的特征向量为向量x 则Ax=λx 因为矩阵A与矩阵B相似 所以存在n阶可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B 在Ax=λx两边同时左乘P^(-1)P(-1)Ax=P(-1)λx=λ[P(-1)x]P(-1)Ax=P(-1)APP^(-1)x=B[P^(-1)x]=λ[P(-1...
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