二叉树
在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点；深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n_0，度为2的结点数为n_2，则n_0=n_2+1。
一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树。具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n+1。深度为k的完全二叉树，至少有2^（k-1)个节点，至多有2^k-1个节点。
一、定义
二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。然而，没有足够的信息来区分左结点和右结点。如果不考虑连通性，允许图中有多个连通分量，这样的结构叫做森林。
二、基本概念
二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：
(1)空二叉树——如图(a)；
(2)只有一个根结点的二叉树——如图(b)；
(3)只有左子树——如图(c)；
(4)只有右子树——如图(d)；
(5)完全二叉树——如图(e)。
注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
三、相关术语
树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支；
孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子；
双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲；
兄弟结点：同一双亲的孩子结点； 堂兄结点：同一层上结点；
祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推；
树的深度：树中最大的结点层
结点的度：结点子树的个数
树的度： 树中最大的结点度。
叶子结点：也叫终端结点，是度为 0 的结点；
分枝结点：度不为0的结点；
有序树：子树有序的树，如：家族树；
无序树：不考虑子树的顺序；[3]
四、二叉树性质
(1) 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过
(2) 深度为h的二叉树最多有
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为
(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：
若I为结点编号则 如果I>1，则其父结点的编号为I/2；
如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；
如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
(6)给定N个节点，能构成h(N)种不同的二叉树。
h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n，n)/(n+1)。
(7)设有i个枝点，I为所有枝点的道路长度总和，J为叶的道路长度总和J=I+2i[4]
五、存储结构
(1）顺序存储方式
1 typenode=record
2 data:datatype
3 l,r:integer;
4 end;
5 vartr:array[1..n]ofnode;
(2)链表存储方式，如：
1 typebtree=^node；
2 node=record
3 data:datatye;
4 lchild,rchild:btree;
5 end;
六、辨析
二叉树不是树的一种特殊情形，尽管其与树有许多相似之处，但树和二叉树有两个主要差别：
1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；
2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。
七、遍历顺序
遍历是对树的一种最基本的运算，所谓遍历二叉树，就是按一定的规则和顺序走遍二叉树的所有结点，使每一个结点都被访问一次，而且只被访问一次。由于二叉树是非线性结构，因此，树的遍历实质上是将二叉树的各个结点转换成为一个线性序列来表示。
设L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点和遍历右子树， 则对一棵二叉树的遍历有三种情况：DLR（称为先根次序遍历），LDR（称为中根次序遍历），LRD （称为后根次序遍历）。
先序遍历
首先访问根，再先序遍历左（右）子树，最后先序遍历右（左）子树，C语言代码如下：
1 voidXXBL(tree*root){
2 //DoSomethingwithroot
3 if(root->lchild!=NULL)
4 XXBL(root->lchild);
5 if(root->rchild!=NULL)
6 XXBL(root->rchild);
7 }
中序遍历
首先中序遍历左（右）子树，再访问根，最后中序遍历右（左）子树，C语言代码如下
1 voidZXBL(tree*root)
2 {
3 if(root->lchild!=NULL)
4 ZXBL(root->lchild);//DoSomethingwithroot
5 if(root->rchild!=NULL)
6 ZXBL(root->rchild);
7 }
后序遍历
首先后序遍历左（右）子树，再后序遍历右（左）子树，最后访问根，C语言代码如下
1 voidHXBL(tree*root){
2 if(root->lchild!=NULL)
3 HXBL(root->lchild);
4 if(root->rchild!=NULL)
5 HXBL(root->rchild);//DoSomethingwithroot
6 }
层次遍历
即按照层次访问，通常用队列来做。访问根，访问子女，再访问子女的子女（越往后的层次越低）（两个子女的级别相同）
线索二叉树
线索二叉树(保留遍历时结点在任一序列的前驱和后继的信息)：若结点有左子树，则其lchild域指示其左孩子，否则令lchild域指示其前驱；若结点有右子树，则其rchild域指示其右孩子，否则令rchild指示其后继。还需在结点结构中增加两个标志域LTag和RTag。LTag=0时，lchild域指示结点的左孩子，LTag=1时，lchild域指示结点的前驱；RTag=0时，rchild域指示结点的右孩子，RTag=1时，rchild域指示结点的后继。以这种结点结构构成的二叉线索链表，链表作为二叉树的存储结构，叫做其中指向结点前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树称为线索二叉树。对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程叫做线索化。若对二叉树进行中序遍历，则所得的线索二叉树称为中序线索二叉树，线索链表称为为中序线索链表。线索二叉树是一种物理结构。
在中序线索树找结点后继的规律是：若其右标志为1，则右链为线索，指示其后继，否则遍历其右子树时访问的第一个结点（右子树最左下的结点）为其后继；找结点前驱的规律是：若其左标志为1，则左链为线索，指示其前驱，否则遍历左子树时最后访问的一个结点（左子树中最右下的结点）为其前驱。
在后序线索树中找到结点的后继分三种情况：
若结点是二叉树的根，则其后继为空；若结点是其双亲的右孩子，或是其双亲的左孩子且其双亲没有右子树，则其后继即为双亲结点；若结点是其双亲的左孩子，且其双亲有右子树，则其后继为双亲右子树上按后序遍历列出的第一个结点。
数据结构定义为：
/*二叉线索存储表示*/typedefenum{Link,Thread}PointerTag;/* Link(0)：指针，Thread(1)：线索*/typedefstruct BiThrNode{ TElemType data;struct BiThrNode *lchild,*rchild;/*左右孩子指针*/PointerTag LTag,RTag;/* 左右标志 */}BiThrNode,*BiThrTree;
八、实现演示
范例二叉树：
A
B C
D E
此树的顺序结构为：ABCD##E
int main()
{
node*p=newnode;
node*p=head;
head=p;
stringstr;
cin >>str;
creat(p,str,0)//默认根节点在str下标0的位置
return 0;
}
//p为树的根节点（已开辟动态内存）,str为二叉树的顺序存储数组ABCD##E或其他顺序存储数组，r当前结点所在顺序存储数组位置.
int main()
{
node* p = newnode;
node* p = head;
head = p;
string str;
cin >> str;
creat(p, str, 0)//默认根节点在str下标0的位置
return 0;
}
//p为树的根节点（已开辟动态内存）,str为二叉树的顺序存储数组ABCD##E或其他顺序存储数组，r当前结点所在顺序存储数组位置。
void creat(node* p, string str, int r)
{
p->data = str[r];
if (str[r * 2 + 1] == '#' || r * 2 + 1 > str.size() - 1)p->lch = NULL;
else
{
p->lch = newnode;
creat(p->lch, str, r * 2 + 1);
}
if (str[r * 2 + 2] == '#' || r * 2 + 2 > str.size() - 1)p->rch = NULL;
else
{
p->rch = newnode;
creat(p->rch, str, r * 2 + 2);
}
}
Binary_tree=(D,R)
其中： D是具有相同特性的数据元素的集合 ;若 D等于空 ,则 R等于空称为空的二叉树 ;若 D等于空则 R是 D上某个二元关系 H的集合，即 R={H}，且
(1) D 中存在唯一的称为根的元素 r，它的关系 H下无前驱 ;
(2) 若 D-{r}不等于空，则 D-{r}={Dl,Dr}，且 Dl交 Dr等于空 ;
(3) 若 Dl不等于空 ,则在 Dl中存在唯一的元素 xl,〈 r,xl〉属于 H，且存在 Dl上的关系 Hl属于 H； 若 Dr不等于空 ,则在 Dr中存在唯一的元素 xr,〈 r,xr〉 >属于 H, 且存 Dr上的关 系 Hr属于 H； H={r,xl,＜ r,xr＞ ,Hl, Hr};
(4) (Dl, Hl) 是一棵合本定义的二叉树，称为根 r的左子树 ,(Dr,Hr)是一棵符合定义的二叉树，称为根的右子树。
其中，图 6.2 是各种形态的二叉树 .
(1) 为空二叉树 (2)只有一个根结点的二叉树 (3)右子树为空的二叉树 (4)左子树为空的二叉树 (5)完全二叉树
二叉树的基本操作：
(1)INITIATE(BT ） 初始化操作。置 BT为空树。
(2)ROOT(BT)\ROOT(x) 求根函数。求二叉树 BT的根结点或求结点 x所在二叉树的根结点。
若 BT是空树或 x不在任何二叉树上，则函数值为 “空 ”。
(3)PARENT(BT,x) 求双亲函数。求二叉树 BT中结点 x的双亲结点。若结点 x是二叉树 BT 的根结点
或二叉树 BT中无 x结点，则函数值为 “空 ”。
(4)LCHILD(BT,x) 和 RCHILD(BT,x) 求孩子结点函数。分别求二叉树 BT中结点 x的左孩 子和右孩子结点。
若结点 x为叶子结点或不在二叉树 BT中，则函数值为 “空 ”。
(5)LSIBLING(BT,x) 和 RSIBING(BT,x) 求兄弟函数。分别求二叉树 BT中结点 x的左兄弟和右兄弟结点。
若结点 x是根结点或不在 BT中或是其双亲的左 /右子树根 ,则函树值 为 “空 ”。
(6)CRT_BT(x,LBT,RBT) 建树操作。生成一棵以结点 x为根，二叉树 LBT和 RBT分别为左， 右子树的二叉树。
(7)INS_LCHILD(BT,y,x) 和 INS_RCHILD(BT,x) 插入子树操作。将以结点 x为根且右子树为空的二叉树
分别置为二叉树 BT中结点 y的左子树和右子树。若结点 y有左子树 /右子树，则插入后是结点 x的右子树。
(8)DEL_LCHILD(BT,x) 和 DEL-RCHILD(BT,x) 删除子树操作。分别删除二叉树 BT中以结点 x为根的左子树或右子树。
若 x无左子树或右子树，则空操作。
(9)TRAVERSE(BT) 遍历操作。按某个次序依此访问二叉树中各个结点，并使每个结点只被访问一次。
(10)CLEAR(BT) 清除结构操作。将二叉树 BT置为空树。
5.2.2 二叉树的存储结构
一 、顺序存储结构
连续的存储单元存储二叉树的数据元素。例如图 6.4(b)的完全二叉树 , 可以向量 (一维数组 ) bt(1:6)作它的存储结构，将二叉树中编号为 i的结点的数据元素存放在分量 bt[i]中 ,如图 6.6(a) 所示。但这种顺序存储结构仅适合于完全二叉树 ,而一般二叉树也按这种形式来存储 ,这将造成存 贮浪费。如和图 6.4(c)的二叉树相应的存储结构图 6.6(b)所示，图中以 “0”表示不存在此结点 .
二、 链式存储结构
由二叉树的定义得知二叉树的结点由一个数据元素和分别指向左右子树的两个分支构成 ,则表 示二叉树的链表中的结点至少包含三个域 :数据域和左右指针域 ,如图 (b)所示。有时 ,为了便于找 到结点的双亲 ,则还可在结点结构中增加一个指向其双亲受的指针域，如图 6.7(c)所示。
5.3 遍历二叉树
遍历二叉树 (traversing binary tree)的问题， 即如何按某条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。 其中常见的有三种情况：分别称之为先 (根 )序遍历，中 (根 )序遍历和后 (根 )序遍历。
5.3.1 前序遍历
前序遍历运算：即先访问根结点，再前序遍历左子树，最后再前序遍历右子树。前序遍历运算访问二叉树各结点是以根、左、右的顺序进行访问的。例如：
按前序遍历此二叉树的结果为： Hello!How are you?
proc preorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
print(bt^);
preorder(bt^.lchild);
preorder(bt^.rchild);]
end;
5.3.2 中序遍历
中序遍历运算：即先中前序遍历左子树，然后再访问根结点，最后再中序遍历右子树。中序遍历运算访问二叉树各结点是以左、根、右的顺序进行访问的。例如：
按中序遍历此二叉树的结果为： a*b-c
proc inorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
inorder(bt^.lchild);
print(bt^);
niorder(bt^.rchild);]
end;
5.3.3 后序遍历
后序遍历运算：即先后序遍历左子树，然后再后序遍历右子树，最后访问根结点。后序遍历运算访问二叉树各结点是以左、右、根的顺序进行访问的。例如：
按后序遍历此二叉树的结果为： Welecome to use it!
proc postorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
postorder(bt^.lchild);
postorder(bt^.rchild);]
print(bt^);
end;
五、例：
1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。
2.用链表存储方式建立一棵如图三、4所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
3.给出一组数据：R={10.18,3,8,12,2,7,3}，试编程序，先构造一棵二叉树，然后以中序遍历访问所得到的二叉树，并输出遍历结果。
4.给出八枚金币a,b,c,d,e,f,g,h，编程以称最少的次数，判定它们蹭是否有假币，如果有，请找出这枚假币，并判定这枚假币是重了还是轻了。
中山纪念中学三鑫双语学校信息学竞赛组编写 2004.7.15