一、变限积分是什么？
答：变限积分是定积分的推广。与定积分不同，变限积分的上、下限至少有一个不是常数。例如，[公式] （其中[公式] 为常数）、[公式] （其中[公式] 为常数）和[公式] 都是变限积分。
二、定积分与变限积分的区别
定积分[公式] 存在时，其结果是一个常数。而变限积分[公式]、[公式] 和[公式] 都是关于[公式] 的一元函数。
三、变限积分的积分变量
变限积分[公式]、[公式] 和[公式] 的积分变量均为[公式]。
四、变限积分求导公式
[公式]
解读：变限积分[公式] 的积分变量是[公式]。由于[公式] 是关于[公式] 的一元函数，因此，[公式] 的求导变量也是[公式]。
注意事项：[公式]，被积函数只含积分变量而不含求导变量。
五、被积函数含求导变量的变限积分求导方法
当[公式] 时，将[公式] 视为被积函数中的常数，并将其移至积分符号[公式] 左边。
[公式]
[公式] 和[公式] 都是关于[公式] 的一元函数。
根据函数乘积的求导公式[公式]，有
[公式]
因此，当被积函数中出现求导变量时，将其视为被积函数中的常数，并将其移至积分符号[公式] 左边，再结合求导公式进行计算。
六、积分形式下的一种特殊的一元函数
【例题】设[公式]，求[公式]。
解：观察发现，积分上下限都是常数，积分变量为[公式]，被积函数中既含积分变量[公式]又含求导变量[公式]，[公式] 长的像定积分，但又不完全是定积分。
但是，可以肯定的是[公式] 是关于[公式] 的函数。
求导变量[公式] 出现在被积函数中，将其视为常数。
[公式] 中的积分变量[公式] 的取值范围是[公式]。
分情况讨论：
（i）当[公式] 时，被积函数[公式]。
此时，[公式]
[公式][公式]
（ii）当[公式] 时，被积函数[公式]。
此时，[公式][公式][公式][公式][公式][公式][公式]
（iii）当[公式] 时，被积函数[公式]。
此时，[公式][公式]
因此，[公式]
[公式]
分段点[公式] 处的左导数[公式][公式]
分段点[公式] 处的右导数[公式][公式]
[公式]
[公式] 分段点 [公式][公式] 处的导数[公式]
分段点[公式] 处的左导数[公式][公式]
分段点[公式] 处的右导数[公式]
[公式]
[公式] 分段点 [公式] 处的导数[公式]
综上所述，[公式]
此题【被积函数含求导变量】并且涉及【分段函数求导】，先分情况讨论出函数的表达式，然后分段得出导函数，最后根据可导的充要条件计算分段点的导数。
七、结语
被积函数只含积分变量的变限积分，可以直接使用变限积分求导公式。
被积函数既含积分变量又含求导变量的变限积分，不能直接使用变限积分求导公式。
被积函数含求导变量的变限积分的求导方法，往往是将求导变量视为被积函数中的常数，将其移至积分符号[公式] 左边，再使用求导公式进行计算。
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