大一上高数：f(x)在x=0处连续。x趋近于0时(f(2x))/x = A，f'(0)等于多少？

Question

有答案，需要过程

Answer 1

因为f(x)在x=0处连续，则f(x)在x=0处必有函数值，且f(0)=0
原式=limf(2x)/x=lim[f(2x)-f(0)]/[2x]=A/2 ①
从而得①左边是f(x)在x=0处的导数值，即f'(0)=A/2

多写一点：首先问题只给出了f(x)在x=0处是连续的，能用罗比达法则吗，显然是不能的。因为使用罗比达法则的条件是在某一点可导，但是由连续是无法推出可导的，而可导可以推出连续。
然后，此问要求某一点的导数只能通过导数的定义式来求。

导数的定义式有两个类型的表达
第一种 当x→a时，f'(a)=lim[f(x)-f(a)]/(x-a)
第二种 当x→0时，f'(a)=lim[f(a+x)-f(a)]/x

Answer 2

设t=2x
当x趋近于0时 t也趋近于0
此时有(f(2x))/x = A
得出(2f(t))/t = A
即(f(t))/t = A/2
所以f'(0)=A/2本回答被提问者采纳

Answer 3

用洛必达法则解答