一道不是很难的等比数列的题，求高人指教。

Question

一个等比数列，前三项数字之和为62，前七项数字之和为39062。
求这个数列的前三项数字为何。
请留下过程，谢谢~

Answer 1

等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
代入：62=a1(1-q^3)/(1-q)
39062=a1(1-q^7)/(1-q)
上式/下式，得62/39062=(1-q^3)/(1-q^7) 解得：q=5
代入得：a1=2
前三项为：2,10,50追问

谢谢你的回答，请问一下：
62/39062=(1-q^3)/(1-q^7)
这一步具体怎么解出来呢？
能不能再指导一下？一步一步来。

追答

配方：62*(-2)=-124=1-q^3 q^3=125 q=5
验证：39062*(-2)=-78124 1-q^7=1-5^7=1-78125=-78124

剩下就是猜的。
62=2*31 假设a1=2，则31=1+q+q² q²+q-30=0 (q+6)(q-5)=0 q=-6或q=5
所以，前三项可能是2，10，15或2，-12，72

追问

谢谢，你后面解释得我比较懂，所以给你。
不过你们怎么那么快就写出来了啊？？

追答

猜习惯了呀！这种高阶方程基本都是靠猜的。等你学了微积分倒是能正规解解，但是很耗时间，还很容易错。基本原则就是往看着比较靠谱的整数上试验

Answer 2

你确认你的题没有问题？请核对数据。

Answer 3

a1+a2+a3=62
a1(1+q+q^2)=62
a1(1+q+...+q^6)=39062
(1+q+q^2)/(1+q+...+q^6)=(1-q^3)/(1-q) * (1-q)/(1-q^6)=(1-q^3)/(1-q^6)=1/(1+q^3)=62/39062
1+q^3=39062/62 q^3= 39000/62 是不是31062呀。。。

Answer 4

2,10,50

Answer 5

解设这个数列 首项为 a 公比为q
则S3= a-aq^3/1-q=62
S7=a-aq^7/1-q=39062
联立2个方程得： 1-q^7/1-q^3=39062/62
解得a=2 q=5或-6
所以前3个数为 2,10,50或2，-12,60追问

谢谢你的回答！ 再请问一下。
这一步1-q^7/1-q^3=39062/62
具体怎么解开呢？ 能不能一步一步地教一下。谢谢。

追答

这个化简后只需要得出前三项和后4项的关系
a（1+q+q^2)=62
a(q^3+q^4+q^5+q^6)=39062-62=39000
观察这2个方程可以估算这个q肯定大于3以上（要不后面的不可能39000那么大）
所以突破口只能从第一个着手
a（1+q+q^2)=62=2*31 62这个数等于前面的积
分解只能a等于2 1+q+q^2=31 q^2+q-30=0 (q-5)(q+6)=0
q=5或-6
整理出来的数是 2,10,50或2，-12,72.

Answer 6

列方程求解啊。设首项为A1，公比为q，
若q＝1，则S3＝3A1＝62， S7＝7A1＝39062，显然矛盾，所以q≠1
那么，S3和S7可以用等比求和公式写出来，
S3＝A1(1－q^3)/(1－q)＝62
S7＝A1(1－q^7)/(1－q)＝39062
两式相除，可以得到关于q的方程，就可以解出q，再代入S3的表达式，就可以求出A1，那么通项An就出来了，前三项就都可以写了