利用函数单调性定义判断函数单调性

Question

如题所述

Answer 1

设有x1<x2
则x1-x2<0
(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
<(x1+x2)/[√x1²+√x2²]
≤(x1+x2)/(x1+x2)
=1
因f(x2)-f(x1)=√(1+x2²)-x2-√(1+x1²)+x1
=(x1-x2)+(1+x2²-1-x1²)/[√(1+x2²)+√(1+x1²)]
=(x1-x2)[1-(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
<0*(1-1)
=0
所以f(x2)-f(x1)<0
所以函数单调递减

Answer 2

设x1<x2 令x1+a=x2 (a>0)得：
f(x1)-f(x2)
=√(1+x1^2)-x1-√(1+x2^2)+x2
=√(1+x1^2)-x1-√(1+x1^2+2ax1+a^2)+x1+a
=√(1+x1^2)+a-√(1+x1^2+2ax1+a^2)
(√(1+x1^2)+a)^2=1+x1^2+2a√(1+x1^2)+a^2
[√(1+x1^2+2ax1+a^2)]^2=1+x1^2+2ax1+a^2
因：√(1+x1^2)>x1 所以：2a√(1+x1^2)>2ax1
即：√(1+x1^2)+a>√(1+x1^2+2ax1+a^2)
得：f(x1)>f(x2)
所以：f(X)在定义域内是单调递减函数!

Answer 3

f(x)=√(1+x^2)-x
=1/[√(1+x^2)+x]
x增，[√(1+x^2)+x]增，1/[√(1+x^2)+x]减
所以f(x)为单减