【以人口动力学为例】
基本假定
人口增长率仅依赖当时的人口数量而与其他时间因素无关的假设可由(dp/dt)/p=f(p),...(*)
p(t)代表t时刻人口数量.
关于逻辑斯蒂方程
假设一个环境能容纳不多于数量k的人口,k称为这个环境的承载能力(carrying capacity),
于是对于(*)有 f(k)=0 为简单起见取f(0)=r 假定f(p)为线性函数
易得到 f(p)=r-(r/k)p 则(*)可变为
dp/dt=p[r-(r/k)p]...(**)
等价于 dp/dt=p(a-bp)...(***)
1840年前后,
比利时数学家和生物学家P.E.Verhulst利用这一模型预测了一些国家的人口数量.他的研究中就有(***)其中a,b>0.该方程称为逻辑斯蒂方程,它的解称为逻辑斯蒂函数,逻辑斯蒂
函数图像称为逻辑斯蒂曲线.
当人口数量很大或过于拥挤时,人口会对环境造成有害的影响,而对食物、能源的竞争也对人口的增长产生了消极影响,所以微分方程dp/dt=kp并不能准确地描述人口模型,现在可以看到当t→∞,(***)的解是有界的.如果我们将(***)改写为dp/dt=ap-ap^2,则非线性项-bp^2,b>0可以理解为抑制或竞争项,在大多数实际应用中,a会远远大于b.
逻辑斯蒂曲线已经被证明可以非常准确的预测在有限空间中的增长形式,如细菌、
原生动物、水蚤、
果蝇等.
运用分离变量法可求的(***)的解为
p(t)=aC1/[bC1+e^(-at)]
如果p(0)=p0,p0≠a/b,可得C1=p0/(a-bp0)
p(t)=ap0/[bp0+(a-bp0)e^(-at)]...(****)
关于逻辑斯蒂曲线(p(t)的图像)
在应用时很少考虑t<0的情况,但我们也无妨给出p(t)在t<0的图像
由(****)可得t→+∞,p(t)=a/b;t→-∞,p(t)=0
注意到d²p/dt²=2b²p[p-(a/b)][p-(a/2b)]
可知满足d²p/dt²=0可能是p(t)的
拐点,而p=0及p=a/b显然排除在外.所以p=a/(2b)是图像唯一可能改变凹凸性的地方.
当0<p<a/(2b)时,p">0;上凹
当a/(2b)<p<a/b时,p"<0;下凹
所以图像以p=a/(2b)为界,从左到右由上凹变为下凹.
p(t)图像为S形.