实数是什么数？为什么复数又是什么数呢？

Question

如题所述

Answer 1

实数集与数轴上所有点所成的集合一一对应，实数是一维数，复数由实数拓展而来，它是二维数，复数集与复平面上的所有点一一对应，且实数集是复数集的真子集。这就是实数与复数的根本区别和联系，部分学生对复数与实数的根本区别理解不深，导致解题中常常出现概念性的失误，现举例如下：
例1 若不等式 成立，求实数 .
错解：

因为两个不全为实数的复数不能比较大小，所以性质 在复数集中不一定成立，上述解法是错误的。
正确的解法应该是直接由条件得出不等式组

例2 设关于x的方程
错解：设两根为
以 ，从而得
与题意不符。
其错因在于复数集中|z|2＝z2 不一定成立，因此第二步不一定成立。
正确的解法是：△＝4(1－2m),
(1)
∴两实根同号，又2(m －)＜0，

(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
(2) △＝4(1 －2m)＜0，
∴
∴
综上（1）、（2）得
例3 已知方程 的两个虚数根为α,β,且|α－β|＝2 ，求实数k.
错解：∵α＋β＝4，αβ＝3k，
∴ ，
∴
以 代入原方程得 ，均非虚根，不符题意，显然错误。错因何在？显然错在等式 不全为实数时，不一定成立。事实上，令 显然 更何况，教科书中对 无定义呢。
本题正确的解法是：
解一：∵ ∴设 ∴

∴
解二：∵ ∴

例4 已知
错解：由
∴
检验：由
∴
从而得
错因何在？显然是在a,b不全为实数时，等式a2＋b2＝0并不一定等于a＝b＝0.
事实上，分设
然而 ，进一步证明 是错误的。
例5 求 的值。
错解：
错因何在？显然在于实数集上的指数运算法则： 不一定适用于复数集，即 ，且在复数集中 ；
事实上，
例6 已知 中至少有一个为0.
错证：设 都非0，则 与题设矛盾，因此 中至少有一个为0.
上述证法运用了反证法去证明等价命题，貌似正确，实则在逻辑上有问题，因为 这一性质并没有被证明可以推广到复数集中去。
正确的证法是利用模去证：
，从而必有
为0.
或用共轭复数证法： 即

根据教科书及上述各例，归纳出复数与实数的主要区别如下：
1、两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小，如例一；
2、 ；
3、 就不一定成立，又若
不一定能推出 如例2和例4；
4、若 ，但若 则上式不一定成立，如例3；
5、实系数方程 △＝ 时无实根，但在复数集中 ；
6、 在实数集中a的n次方根的情况是：
（1）n为奇数，有一个实根 ，
（2）n为偶数，（i）a＞0时有两个实数 , (ii) a＜0时无实根，但在复数集中有且仅有n个n次方根，因此，在实数集中 不能分解成一次因式之积，而在复数集中 ；
7、实数集中成立的一些运算法则及命题未经论证不能擅自用于复数集，如例5和例6。