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Question

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题, 1+2+3+....+100？经过研究,这个问题的一般性结论是： 1+2+3+...+n（n+1）,其中n是正整数。 现在我们来研究一个类似的问题1x2+2x3+3x4+...+n(n+1)=?观察下面3个特殊的等式： 1x2=三分之一（1x2x3-0x1x2） 2x3=三分之一（2x3x4-1x2x3） 3x4=三分之一（3x4x5-2x3x4） 将这3个等式的两边相加,可以得到：1x2+2x3+3x4=三分之一x3x4x5=20 读完这段材料,请你思考后回答： （1）1x2+2x3+3x4+...+100x101= （2）1x2+2x3+3x4+...n(n+1)= 根据上面的结果猜想下面的算式结果： 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）= （要答案和详细过程哦~~~）

Answer 1

（1）1x2+2x3+3x4+...+100x101
=1/3×100×101×102
= 343400
（2）1x2+2x3+3x4+...n(n+1)
=1/3×n×（n+1）×（n+2）

1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）
=1/4×n×（n+1）×（n+2）×（n+3）

Answer 2

（1）1x2+2x3+3x4+...+100x101
=（1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+100x101x102-99x100x101）/3
=100x101x102/3=343400
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）
=[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n（n+1)（n+2）（n+3）-(n-1)n（n+1)（n+2）]/4
= n（n+1)（n+2）（n+3）/4

Answer 3

1 三分之（100x101X102)
2 三分之
这两个可以通过观察得到
3 4分之（n×（n+1）×（n+2）×（n+3））
1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）=四分之[ 1x2x3x4-0x1x2x3+2x3x4x5-1x2x3x4+3x4x5x6-2x3x4x5+...+n(n+1)(n+2)(n+3）-(n-1)n（n+1)（n+2）]

Answer 4

由已知规律可分析得到(1)1x2+2x3+3x4+...+100x101=三分之一(100x101x102);(2)1x2+2x3+3x4+...n(n+1)=三分之一[n(n+1)(n+2)];最后猜想1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n（n+1)（n+2）=四分之一[n(n+1)(n+2)(n+3)]。既然是猜想,就用数学归纳法证明猜想,我刚证过,成立…