寻求平时生活或者学习中的一个问题 用一元微积分的方法解决（探究性学习课题）

Question

探究性学习问题:
解决方案:

Answer 1

如：热水的冷却时间计算：

在恒定室温20℃的室内，一杯初始温度为80℃的热水，经过5分钟后，变为50℃，求共经过多久，温度降为40℃？设冷却速率符合牛顿定律：冷却速度跟温差成正比。

解：根据冷却定律，dT/dt=-k(T-T0)  <1>  T0=20℃，k为常数，解此微分方程得到其通解

将条件t=0时，T=80℃，T0=20℃；t=5min，T=50℃分别代入<2>，

解出常数C=60℃，k=0.2ln(2)，代入<2>:

将T=40℃代入上式，求出时间t=5ln(3)/ln(2)≈7.92min。这表明，从80℃降低30摄氏度，只用了5分钟；而从50℃再降低10摄氏度，用了7.92-5=2.92分钟>5/3分钟。这表明，温度随着时间降低，降低的速率原来越小。

Answer 2

就直线匀变速运动就可以啊，或者是这个问题：
一个物体受到阻力和速度成反比（F=-kv，空气阻力近似如此），求速度对时间的表达式。初速度为v0。
根据牛顿第二定律：-kv=m(dv/dt)
分离变量：-(k/m)dt=dv/v
两边积分，左边从0到t，右边从v0到v
-(k/m)t=ln v-ln v0=ln (v/v0)
代数变换，v=v0*e^(-k/m)t