何为“集合论”？

Question

讲的简单一点!!!!!!!!!

Answer 1

集合论
初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念都是：集合。这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论。它是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。下面就让我们一起去探究一下这门独特而重要的数学理论的来龙去脉，追觅它所走过的曲折历程吧。集合论的诞生 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。 十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。康托尔的不朽功绩 在中学数学中我们所学习的只是集合论的最基本知识。学习过程中，同学们或许觉得一切都是很自然与简单的，根本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在。前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来。 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界。对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子。下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么。 “我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示。”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生。但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这种观点。用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界。 最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数。他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势。由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数。这与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集。后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集。但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次。他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。公理化集合论的建立 集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去。 从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。 它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一。 这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作。 康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一。注：整系数一元n次方程的根，叫代数数。如一切有理数是代数数。大量无理数也是代数数。如根号2。因为它是方程x2-2=0的根。实数中不是代数数的数称为超越数。相比之下，超越数很难得到。第一个超越数是刘维尔于1844年给出的。关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世。

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集合论的建立
康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于 =0的素数问题的。这是高斯在《算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一？对康托来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究，并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托最终建立集合论创造了条件。1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。于，他跨出了集合论的第一步。
康托一下子就表现出比海涅更强的研究能力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性的解，康托引进了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例外值是无穷集的情况。康托1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。
集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。
他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了:
1 2 3 4 … … n … …
2 3 4 … … n … …
但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一样大。
不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的.康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。
随着实数不可数性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。
既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托在1879到1884年间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是极为重要的。1883年，康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版。
《集合论基础》的出版，是康托数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”《集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特殊贡献的开端。
康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号；依势的大小把它们排成一个“序列”；规定了它们的加法，乘法和乘方… …。到此为止，康托所能做的关于超限基数和超限序数理论已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托自己首先发现了集合论的内在矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续统假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。

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论集合

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