已知双曲线的两个焦点为F1(-√10，0）F2(√10,0) ，M是双曲线上一点，且满足MF1点乘M

Question

已知双曲线的两个焦点为F1(-√10，0）F2(√10,0) ，M是双曲线上一点，且满足MF1点乘MF2=0 ，绝对值MF1点乘绝对值MF2=2 则双曲线方程是？
已知双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 的左右焦点分别为F1(-C,0),F2(c,0) 若双曲线上存在点P使sin角PF1F2/sin角PF2F1=a/c 则该曲线的离心率取值范围是

Answer 1

解：1、由MF1*MF2=0可知，MF1⊥MF2，
在直角三角形MF1F2中，F1F2=2√10，由勾股定理|MF1|²+|MF2|²=|F1F2|²，有
|MF1|²+|MF2|²=40，
又已知|MF1|*|MF2|=2，
两式联立解得|MF1|或|MF2|=√11±3，
由双曲线定义有2a=|(|MF1|-|MF2|)|=|(√11+3)-(√11-3)|=6，所以a=3，又c=√10，可求得b=1
所以双曲线方程为x²/9-y²=1。

2、在△PF1F2中，由正弦定理有sin∠PF1F2/sin∠PF2F1=PF2/PF1，所以PF2/PF1=a/c
因为a<c，所以PF2<PF1，所以P点在双曲线的右支上。
过P点作x轴的平行线，分别交双曲线的左右准线于G、H，设P点坐标为(xo，yo)，则xo≥a
PG=xo+(a²/c)，PH=xo-(a²/c)
由双曲线的第二定义有
PF1=e•PG=e•[xo+(a²/c)]=exo+a
PF2=e•PH=e•[xo-(a²/c)]=exo-a
上面的式子代入PF2/PF1=a/c，得
c•(exo-a)=a•(exo+a)
解出xo=a(c+a)/(ec-ea)
代入xo≥a得a(c+a)/(ec-ea)≥a
化简这个不等式得(c+a)/(ec-ea)≥1
分子分母同除以a，并将c/a换成e，结合e>1整理得e²-2e-1≤0
解之得1<e≤1+√2。