一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如： —函数的定义域； —函数的值域；
—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合 是它本身的子集,记为 .
②空集是任何集合的子集,记为 .
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况
如： ,如果 ,求 的取值.(答： )
④ , ； ；
.
⑤ .
⑥ 元素的个数： .
⑦含 个元素的集合的子集个数为 ；真子集(非空子集)个数为 ；非空真子集个数为 .
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ,使
,求实数 的取值范围.(答： )
4.原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两
个命题是等价的.如：“ ”是“ ”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若 且 ,则 是 的充分非必要条件(或 是 的必要非充分条件).
6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是 .
命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”；“ 且 ”的否定是“ 或 ”.
如：“若 和 都是偶数，则 是偶数”的否命题是“若 和 不都是偶数,则 是奇数”
否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数”.
7.常见结论的否定形式
原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
至多有 个
小于 不小于 至多有 个
至少有 个
对所有 ,成立
存在某 ,不成立
或
且
对任何 ,不成立
存在某 ,成立
且
或
8.且命题、或命题与否命题： 且命题‘同真则真、一假则假’或命题‘同假则假、一真则真’
9.全称命题与特称命题：例“任意x∈R，x2+1≥0” 的否定为“存在x∈R，x2+1＜0”
二.函数
1.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
2.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ;偶次根式被开方数非负;对数真数 ,底数
且 ；零指数幂的底数 )；实际问题有意义；若 定义域为 ,复合函数 定义
域由 解出；若 定义域为 ,则 定义域相当于 时 的值域.
3.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；
⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
4.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。
5.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若 是偶函数,那么 ；定义域含零的奇函数必过原点( )；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或 ；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如 定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数 的单调递增区间是 .(答： )
6.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对 而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对 而言).⑵翻折变换： ； .
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像 与 的对称性,即证 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 上,反之亦然.
③函数 与 的图像关于直线 ( 轴)对称；函数 与函数
的图像关于直线 ( 轴)对称；
④若函数 对 时， 或 恒成立,则 图像关
于直线 对称；
7.函数的周期性：⑴若 对 时 恒成立,则 的周期为 ；
⑵若 是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；
⑶若 奇函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；
⑷若 关于点 , 对称,则 的周期为 ；
⑸ 的图象关于直线 , 对称,则函数 的周期为 ；
⑹ 对 时, 或 ,则 的周期为 ；
8.对数：⑴ ；⑵对数恒等式 ；
⑶ ；
；⑷对数换底公式 ；
9.方程 有解 ( 为 的值域)； 恒成立 ,
恒成立 .恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
10.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
11.二次函数解析式的三种形式： ①一般式： ；②顶点式：
； ③零点式： .
12.一元二次方程实根分布:先画图再研究 、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
13.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若 的定义域为 ,其复合函数 的定义域可由
不等式 解出；若 的定义域为 ,求 的定义域，相当于 时,求
的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
三.数列
1.由 求 , 注意验证 是否包含在后面 的公式中,若不符合要
单独列出.如：数列 满足 ，求 (答： ).
2.等差数列 ( 为常数)
；
3.等差数列的性质： ① , ；
② (反之不一定成立)；特别地,当 时,有 ；
③若 、 是等差数列,则 ( 、 是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；
⑤等差数列 ,当项数为 时, , ；项数为 时,
, ,且 ； .
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
(或 ).也可用 的二次函数关系来分析.
⑦若 ,则 ；若 ,则 ；
若 ,则Sm+n=0；S3m=3(S2m－Sm)； .
4.等比数列 .
5.等比数列的性质
① , ；②若 、 是等比数列，则 、 等也是等比数列；
③ ；④ (反之不一定成
立)； . ⑤等比数列中 (注：各项均不为0)
仍是等比数列. ⑥等比数列 当项数为 时, ；项数为 时, .
6.①如果数列 是等差数列,则数列 ( 总有意义)是等比数列；如果数列 是等比数列,
则数列 是等差数列；
②若 既是等差数列又是等比数列,则 是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差
是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的
公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法： ；四个数成等差的设法： ；
三个数成等比的设法： ；四个数成等比的错误设法： (为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
⑵已知 (即 )求 用作差法： .
⑶已知 求 用作商法： .
⑷若 求 用迭加法. ⑸已知 ,求 用迭乘法.
⑹已知数列递推式求 ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如 , ,
( 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后,
再求 .②形如 的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.
公式： ； ；
； ；常见裂项公式 ；
；
常见放缩公式： .
四.三角函数
1. 终边与 终边相同 ； 终边与 终边共线 ； 终边
与 终边关于 轴对称 ； 终边与 终边关于 轴对称
； 终边与 终边关于原点对称 ；
终边与 终边关于角 终边对称 .
2.弧长公式： ；扇形面积公式： ； 弧度( )≈ .
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： ； ；
4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹
、 ”的关系.
如 等.
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
(注意：公式中始终视a为锐角)
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角
与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.
如： ； ； ； ；
等；“ ”的变换： ；
7.重要结论： 其中 ）；重要公式 ；
8.正弦型曲线 的对称轴 ；对称中心 ；
余弦型曲线 的对称轴 ；对称中心 ；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三
内角和等于 ,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理： ；
余弦定理： ；
面积公式： ；射影定理： .
10. 中,易得： ,① , , .
② , , . ③
④锐角 中, , , ,类比得钝角 结论.
⑤ .
11.角的范围：异面直线所成角 ；直线与平面所成角 ；二面角和两向量的夹角 ；直线
的倾斜角 ； 到 的角 ； 与 的夹角 .注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量
1.设 , . (1) ；(2) .
2.平面向量基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
量 ,有且只有一对实数 、 ,使 .
3.设 , ,则 ；其几何意义是 等于 的长度
与 在 的方向上的投影的乘积； 在 的方向上的投影 .
4.三点 、 、 共线 与 共线；与 共线的单位向量 .
5.平面向量数量积性质：设 , ,则 ；注意:
为锐角 , 不同向； 为直角 ； 为钝角 , 不反向.
6. 同向或有 ； 反向或有
； 不共线 .
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若 , ,则 ；
； ⑵若 ,则 .
六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若 , ,则 .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意
用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 ,则 (当且仅当 时
取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2) ，
(当且仅当 时,取等号)；(3)公式注意变形如： , ；(4)若 ,则 (真分数的性质)；
4.含绝对值不等式： 同号或有 ； 异号或有
.
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较： .注意：若两个正数作差比较有困
难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…
需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如： ； .②将分子或分母放大(或缩小)
③利用基本不等式,如： .④利用常用结论： ；
(程度大)； (程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元
代数换元.如：知 ,可设 ；知 ,可设 ,
( )；知 ,可设 ；已知 ,可设 .
⑺最值法,如： ,则 恒成立. ,则 恒成立.
七.直线和圆的方程
1.直线的倾斜角 的范围是 ；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 (如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直线
方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在 轴上的截距为
和斜率 ，则直线方程为 ,它不包括垂直于 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过
、 两点,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标轴的直线.
⑷截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ,它不包括垂直于坐标
轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 ( 不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 .直线两截距相等 直线的斜率为 或直线过
原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 或直线过原点；直线两截距绝对值相等
直线的斜率为 或直线过原点.
⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线 与直线 的位置关系：
⑴平行 (斜率)且 (在 轴上截距)；
⑵相交 ；(3)重合 且 .
5.点 到直线 的距离公式 ；
两条平行线 与 的距离是 .
6.设三角形 三顶点 , , ,则重心 ；
7.有关对称的一些结论
⑴点 关于 轴、 轴、原点、直线 的对称点分别是 , , , .
⑵曲线 关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点 ： ；
② 轴： ；③ 轴： ；④原点： ；⑤直线 ：
；⑥直线 ： ；⑦直线 ： .
8.⑴圆的标准方程： . ⑵圆的一般方程：
.特别提醒：只有当 时,方程
才表示圆心为 ,半径为 的圆(二元二次方程
表示圆 ,且 ).
⑶圆的参数方程： ( 为参数),其中圆心为 ,半径为 .圆的参数方程主要应用是
三角换元： ； .
⑷以 、 为直径的圆的方程 ；
10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 及圆的方程
.① 点 在圆外；
② 点 在圆内；③ 点 在圆上.
11.圆上一点的切线方程：点 在圆 上,则过点 的切线方程为： ；
过圆 上一点 切线方程为 .
12.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 轴垂直的直线.
13.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解
决弦长问题.① 相离 ② 相切 ③ 相交
14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为 ,
两圆的半径分别为 ： 两圆相离； 两圆相外切； 两
圆相交； 两圆相内切； 两圆内含； 两圆同心.
15.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标
函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.
八.圆锥曲线方程
1.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或
(弦端点 ,由方程 消去
得到 , , 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；
2.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 ,焦准距为 ,抛物线的通径为 ,焦准距为 ；
双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ；
3.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 (对于椭圆 )；
4.抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）为 , 、 ,则有如下结论：
⑴ ；⑵ , ； ⑶ .
5.对于 抛物线上的点的坐标可设为 ,以简化计算.
6.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 中,
以 为中点的弦所在直线斜率 ；在双曲线 中,以 为中点的弦所
在直线斜率 ；在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 .
7.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立 、 之间的关系，构成 ,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.
⑶代入法(相关点法或转移法).
⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法)：当动点 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑
将 、 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
8.解析几何与向量综合的有关结论：
⑴给出直线的方向向量 或 .等于已知直线的斜率 或 ；
⑵给出 与 相交,等于已知 过 的中点；
⑶给出 ,等于已知 是 的中点;
⑷给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一： ① ； ②存在实数 ,使 ； ③若存在实数 ,
且 ；使 ,等于已知 三点共线.
⑹给出 ,等于已知 是 的定比分点, 为定比,即
⑺给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已
知 是钝角或反向共线,给出 ,等于已知 是锐角或同向共线.
⑼在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是菱形.
⑽在平行四边形 中,给出 ,等于已知 是矩形.
⑾在 中,给出 ，等于已知 是 的外心(三角形的外心是外接圆
的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
⑿在 中,给出 ，等于已知 是 的重心(三角形的重心是三角形
三条中线的交点).
⒀在 中,给出 ，等于已知 是 的垂心(三角形的垂心
是三角形三条高的交点).
⒁在 中,给出 等于已知 通过 的内心.
⒂在 中,给出 等于已知 是 的内心(三角形内切圆
的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).
⒃在 中,给出 ,等于已知 是 中 边的中线.
等可能事件的概率公式：⑴ ； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：
；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 ；⑷独立重复试验
概率公式 ；⑸如果事件 与 互斥，那么事件 与 、 与 及事件
与 也都是互斥事件；⑹如果事件 、 相互独立，那么事件 、 至少有一个不发生
的概率是 ；（6）如果事件 与 相互独立，那么事件 与 至少有
一个发生的概率是 .
十三.导数
1.导数的定义： 在点 处的导数记作 .
2.函数 在点 处有导数,则 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数
的曲线在点 处有切线,则 在该点处不一定可导.如 在 有切线,但不可导.
3.函数 在点 处的导数的几何意义是指：曲线 在点 处切线的斜率,
即曲线 在点 处的切线的斜率是 ,切线方程为 .
4.常见函数的导数公式: ( 为常数)； . ； ；
； ； .
5.导数的四则运算法则： ； ； .
6.复合函数的导数： .
7.导数的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性：设函数 在某个区间内可导,如果 ,那么 为增
函数；如果 ,那么 为减函数；如果在某个区间内恒有 ,那么 为常数；
(2)求可导函数极值的步骤：①求导数 ；②求方程 的根；③检验 在方程
根的左右的符号，如果左正右负,那么函数 在这个根处取得最大值；如果左负
右正,那么函数 在这个根处取得最小值；
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求 在 内的极值；②将 在各极值点
点的极值与 、 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
十四.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴ 且 ；⑵复数是
实数的条件：① ；② ；③ .
3.复数是纯虚数的条件: ① 是纯虚数 且 ； ② 是纯虚数
；③ 是纯虚数 .
4.⑴复数的代数形式： ；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设 ,
,则 , ,
.
十五.注意答题技巧训练
1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意：
⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做.
⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌，
影响下面做题的情绪.
⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧
张,也许待会儿根本顾不上再来思考.
⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间
再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率.
2.规范化提醒：这是取得高分的基本保证.规范化包括：解题过程有必要的文字说明或叙述,注意解完
后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分.总
之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化.
⑴解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集
合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 .在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括
号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开.
⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符合题意的“答”.
⑶分类讨论题,一般要写综合性结论.
⑷任何结果要最简.如 等.
⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值.
⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数).
⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围.
⑻轨迹问题：①轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状.
②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 或 的范围.
⑼分数线要划横线,不用斜线
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