两道定积分问题，求高手啊！！！

Question

如题所述

Answer 1

（5）.令cosx-sinx=-根号2sin(x+pai/4)=t,则sinxcosx=(1-t^2)/2,原式=t/(1+(1-t^2)/2)从1积到-1，而这是一个奇函数，所以原式为0.
（6）换元，令-x=t,原式=∫sin^2x/(1+e^x)积分上下限不变。
2倍的原式=原式+∫sin^2x/(1+e^x)==∫sin^2x，积分上下限不变。这个积分为派/6-根号3/4.它除以2就是原式的值

Answer 2

楼上复杂了点 这样的题目只需变量替换
①记原积分=I1,作变量替换x=π/2-t得I2 原积分=1/2(I1+I2)=0
②记原积分=I1,作变量替换x=-t得I2,原积分=1/2(I1+I2)=1/2∫(-pi/6,pi/6)(sinx)^2dx=1/2(π/6-√3/4)

Answer 3

∫(cosx-sinx)/(1+sinxcosx)dx
=2∫(cosx-sinx)/(sin^2 x + cos^2 x + 2sinxcosx +1)dx
=2∫(cosx-sinx)/[(sinx+cosx)^2 +1]dx
=∫1/[(sinx+cosx)^2 +1]d[(sinx+cosx)^2 +1]
=ln[(sinx+cosx)^2 +1]
代入π/2, 0得：ln[(sinπ/2+cosπ/2)^2 +1]-ln[(sin0+cos0)^2 +1]=0