如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于

Question

如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

Answer 1

因为PN与圆O相切于点Q，则：OQ⊥PN，且OQ=r=6
那么，在Rt△POQ中，由勾股定理有：
PQ^2=PO^2-OQ^2=10^2-6^2=100-36=64
所以，PQ=8
A、B两点同时从P点出发，且A点的速度为5cm/s，B点的速度为4cm/s，那么运动时间为t时，有：
PA=5t，PB=4t
那么，PA/PB=(5t)/(4t)=5/4
而，PO/PQ=10/8=5/4
所以，PO/PQ=PA/PB
且，它们的夹角∠OPQ=∠APB
所以，△OPQ∽△APB
所以，∠PBA=∠PQO=90°
即，△PBA始终是直角三角形
亦即，AB始终垂直于PN
那么：
①
当AB所在的直线第一次与圆O相切时，设切点为E。连接OE
则，OE⊥BE
而，AB⊥PN，OQ⊥PN
所以，四边形BEOQ为矩形
又因为OE=OQ=r
所以，四边形BEOQ为正方形
则，BQ=OE=r=6
所以，PB=PQ-BQ=8-6=2
那么，运动时间t=2/4=0.5s
②
当AB所在的直线第二次与圆O相切时，设切点为F。连接OF
同理，四边形B'FOQ为正方形
则，B'Q=OF=r=6
所以，PB'=PQ+B'Q=8+6=14
那么，运动时间t=14/4=3.5s

Answer 2

1.连OQ
OQ=R=6cm
OP=10cm
∴PQ=8cm
2.设t1s时AB第一次切⊙O于C
连OA、OC
∵PA:PB=4t:5t=4:5=PQ:PO
∴△PAB∽△POQ
又AC、AQ都与⊙O相切
易证ACOQ是正方形
∴PA=8-6=2=4t1
t1=0.5s
设t2s时AB第二次切⊙O于C'
连OC'
同理可证OC'BQ是正方形
PB=4t2=8+6=14
t2=3.5 s本回答被提问者采纳

Answer 3

解：（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，
即∠OQP=90°，（2分）
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ=

102-62
=8（cm）．（3分）

（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8，
∴

PA
PO
=

PB
PQ
，

∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°，（4分）
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．
∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ-PB=8-4t，
∵BQ=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．（6分）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．（8分）

Answer 4

解：
（1）如图，连接OC，
∵PC切⊙O与点C，
∴OC⊥PC，
∵EF垂直平分PC，PC=16cm
∴QC=8cm，
∴QO= QC2+OC2 =10；

（2）当直线EF与⊙O相切于点D、交直线PM于点N时，连接OD．
∴四边形ODNC是正方形，
∴CN=OD=6，
∴QN=QC+CN=6+8=14或QN=QC-CN=8-6=2，
∵直线EF沿射线QM方向以5cm/s 的速度平移，
∴t=2 5 或14 5 ；

（3）当0＜t＜2 5 或t＞14 5 时，直线EF与⊙O无公共点，
当2 5 ＜t＜14 5 时，直线EF与⊙O有两个公共点．

Answer 5

　　解：1)连接OQ，PQ与圆O相切，故OQ垂直于PQ
所以PQ^2=PO^2-OQ^2,即PQ^2=10^2-6^2=64,PQ=8(cm)
2)设t秒时直线与圆O相切于E，如图，则PB：PA=4：5；又PQ：
PO=8cm:10cm=4:5.故PQ：PO=PB:PA,又∠P=∠P
∴⊿PBA∽⊿PQO，则∠PBA=∠PQO=90度；又∠PQO=∠BEO=90度；
OQ=OE，故四边形BQOE为正方形，BQ=QO=6,PB=4t=2,t=1/2.
所以当t=1/2s时，直线AB与圆相切。