抛物线交y轴与点C(0,3),点D为抛物线顶点直线y=x-1交抛物线于点MN两点,过线段MN上一点P做y轴的平行线交抛物线于点Q
设E为线段OC上的三等分点,连接EPEQ若EP=EQ求P
抛物线y=ax^2+bx+c(a不等于0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)两点, 则该抛物线可表示为
y = a(x + 1)(x -3) = ax² -2ax -3a
抛物线交y轴与点C(0,3), 3 = -3a, a = -1
y = -x² + 2x + 3
E为线段OC上的三等分点, E(0, 1)或E(0, 2)
设P(p, p-1) (在y = x -1上)
则Q(p, -p² + 2p + 3)
(1) E(0, 1)
EP=EQ, (p-0)² + (p-1-1)² = (p-0)² + (-p² + 2p + 3 - 1)²
p² +(p-2)² =p² +(p² -2p - 2)²
(p-2)² = (p² -2p - 2)²
(a) p² -2p - 2 = p -2
p(p-3) = 0
p = 0, P(0, -1) Q(0, 3), 与C重合
p = 3, P(3, 2), Q(3, 0), 与B重合 (此时P在线段MN以外,舍去)
(b) p² -2p - 2 = -p +2
p² -p - 4 = 0
此为M,N,不考虑。
(2) E(0, 2)
EP=EQ, (p-0)² + (p-1-2)² = (p-0)² + (-p² + 2p + 3 - 2)²
p² +(p-3)² =p² +(p² -2p - 1)²
(p-3)² = (p² -2p - 1)²
(a) p² -2p - 1 = p -3
(p-1)(p-2) = 0
p = 1, P(1, 0), Q(1, 4)
p = 2, P(2, 1), Q(2, 3)
(b) p² -2p - 1 = -p +3
p² -p - 4 = 0
此为M,N,不考虑。