高数三道问题 求解 急

Question

高数问题 急
1。 limx趋于无穷时 ((x^3)(sin1/x)+cosx)/x^2+1
2. lim x~0. ((1/x^2)-cotx)
3. 设f(x)有二阶连续导数，f'(0)=0 lim x~0. f''(x)/|x|=1 则 x=0既不是极值点也不是拐点 为什么？这是道选择题

Answer 1

1、Taylor展式，sin(1/x)=1/x-1/(6x^3)+小o(1/x^3)，x^3sin(1/x)=x^2+小o(x^2)，然后分子分母同除以x^2，取极限得1。cosx/x^2+1的极限为0，因为分子有界，分母趋于无穷。
2、通分后Taylor展式，明显分子是x+o(x)，而分母等价于x^3，因此极限是无穷。
3、因为极限是1，所以在x＝0的右邻域内有f'(x)/x>0，左邻域内f'(x)/(-x)>0，即f'(x)>0，x>0时；f'(x)>0，x<0时，f(x)在x＝0的一个邻域内一直是严格单调递增的，x＝0当然不是极值点。另外，当x在0的右边趋于0时，有1=lim f'(x)/x=lim (f'(x)-f'(0))/(x-0)＝f''(0)（右导数），故f''(0)不会是零，当然也不是拐点。
ps：其实，题目中f有二阶连续导数是错误的，f在0点的二阶左右导数分别是1和－1，故f在0点没有二阶导数。追问

第一题谢谢，是用taylor展开，不过极限得一吧？到取极限得一那里就够了
第二题写错了 减的是cot^2 x不知道怎么样？
第三题条件给的是继贤二阶导数，你给的解释好像是按一阶导数算的

追答

1、sin1/x可以Taylor展式，但cosx不能Taylor展式（因为考虑x趋于无穷，不是趋于0），因此得分开计算。
2、先通分，极限lim (sin^2x-x^2cos^2x)/x^4（等价替换）＝lim (sinx-xcosx)/x^3lim(sinx+xcosx)/x，第一个用洛必达法则，第二个直接计算极限为2，最后相乘。
3、证明极值点本来只需要一阶导数就足够了，证明是拐点的话，题目给的关于一个点的一阶导数的条件怎么修改都不可能证明是拐点。也就是说，即使你能证明f''(0)=0，0点也不一定是拐点。