高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应位置上；如需改动，先花掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛ ｝关系的韦恩（Venn）图是
2．下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是
A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5
3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．若函数 是函数 的反函数，且 ，则
A． B． C． D．
5．已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则
A． B． C． D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
7．已知 中， 的对边分别为 。若 ，且 ，则
A．2 B． C． D．
8．函数 的单调递增区间是
A． B．（0，3） C．（1，4） D．
9．函数 是
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A．20.6 B．21 C．22 D．23
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
(一)必做题(11~13题)
11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填
，输出的 = 。
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ”或“：=”)
12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号， ，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。
13．以点（2，－1）为圆心且与直线 相切的圆的方程是_______________________。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与直线 垂直，则常数 =________。
15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆 上的点，且 ， ，则圆 的面积等于__________________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知向量 与 互相垂直，其中 .
（1） 求 和 的值；
（2） 若 ，求 的值。
17．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线 平面 .
18．（本小题满分13分）
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。
19．（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为 和 ，椭圆G上一点到 和 的距离之和为12。圆 ： 的圆心为点 。
（1）求椭圆G的方程；
（2）求 面积；
（3）问是否存在圆 包围椭圆G？请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知点 是函数 的图像上一点。等比数列 的前n项和为 。数列 的首项为c，且前n项和 满足
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，问满足 ＞ 的最小正整数 是多少？
21．（本小题满分14分）
已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 。设函数 。
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科） 参考答案
一、 选择题
1-10 BCCAB DADAB
1、【解析】由N= { x |x +x=0} 得 ,选B.
2、【解析】因为 ,故选C.
3、【解析】 ,由 及向量的性质可知,C正确.
4、【解析】函数 的反函数是 ,又 ,即 ,
所以, ,故 ,选A.
5、【解析】设公比为 ,由已知得 ,即 ,因为等比数列 的公比为正数，所以 ,故 ,选B
6、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
7、【解析】
由a=c= 可知, ,所以 ,
由正弦定理得 ,故选A
8、【解析】 ,令 ,解得 ,故选D
9、【解析】因为 为奇函数, ,所以选A.
10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ ,
其中, 路线③ 的距离最短, 最短路线距离等于 ,
故选B.
二、 填空题
11、【答案】 ,
【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填 ，输出的s= .
12、【答案】37, 20
【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为 ,则应抽取的人数为 人.
13、【解析】将直线 化为 ,圆的半径 ,所以圆的方程为
14、【答案】
【解析】将 化为普通方程为 ,斜率 ,
当 时,直线 的斜率 ,由 得 ;
当 时,直线 与直线 不垂直.
综上可知, .
15、【答案】
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以 , 为等边三角形,故圆O的半径 ,圆O的面积 .
三、 解答题
16、【解析】（1） , ,即
又∵ , ∴ ,即 ,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴
17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（2）该安全标识墩的体积为：
（3）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知, 平面EFGH ,
又 平面PEG
又 平面PEG；
18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；
19、【解析】（1）设椭圆G的方程为： （ ）半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为： .
(2 )点 的坐标为
（3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外，
若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外；
不论K为何值圆 都不能包围椭圆G.
20、【解析】（1） ,
, ,
.
又数列 成等比数列， ，所以 ；
又公比 ，所以 ；
又 , , ；
数列 构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当 ， ；
( )；
（2）
；
由 得 ，满足 的最小正整数为112.
21、【解析】（1）设 ，则 ；
又 的图像与直线 平行
又 在 取极小值， ，
， ；
， 设
则
；
（2）由 ，
得
当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；
当 时，方程 有二解 ，若 ， ，
函数 有两个零点 ；若 ，
，函数 有两个零点 ；
当 时，方程 有一解 , , 函数 有一零点
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考