§3.2 回归分析方法
回归分析方法，是研究要素之间具体的数量关系的一种强有力的工具，能够建立反映地理要素之间具体的数量关系的数学模型，即回归模型。
1. 一元线性回归模型
1) 一元线性回归模型的基本结构形式
假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。则一元线性回归模型的基本结构形式：
a和b为待定参数；α=1,2,…,n为各组观测数据的下标； εa为随机变量。如果记a^和b^ 分别为参数a与b的拟合值，则得到一元线性回归模型
ÿ 是y 的估计值，亦称回归值。回归直线——代表x与y之间相关关系的拟合直线
2) 参数a、b的最小二ÿ乘估计
参数a与b的拟合值：
,
建立一元线性回归模型的过程，就是用变量 和 的实际观测数据确定参数a和b的最小二乘估计值α^和β^ 的过程。
3) 一元线性回归模型的显著性检验
线性回归方程的显著性检验是借助于F检验来完成的。
检验统计量F：
误差平方和：
回归平方和：
F≈F（1，n-2）。在显著水平a下，若 ，则认为回归方程效果在此水平下显著；当 时，则认为方程效果不明显。
[举例说明]
例1：在表3.1.1中，将国内生产总值（x1）看作因变量y，将农业总产值（x2）看作自变量x，试建立它们之间的一元线性回归模型并对其进行显著性检验。
解：
(1) 回归模型
将y和x的样本数据代入参数a与b的拟合公式，计算得：
故，国内生产总值与农业总产值之间的回归方程为
(2) 显著性检验
在置信水平α=0.01下查F分布表得：F0.01(1,46)=7.22。由于F=4951.098 >> F0.01(1,46)=7.22，所以回归方程（3.2.7）式在置信水平a=0.01下是显著的。
2. 多元线性回归模型
在多要素的地理系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相关影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
1) 多元线性回归模型的建立
(1) 多元线性回归模型的结构形式
假设某一因变量y受k 个自变量 的影响，其n组观测值为 。则多元线性回归模型的结构形式：
为待定参数， 为随机变量。如果 分别为 的拟合值，则回归方程为
b0为常数， 称为偏回归系数。
偏回归系数 ——当其它自变量都固定时，自变量 每变化一个单位而使因变量xi平均改变的数值。
(2) 求解偏回归系数
,
2) 多元线性回归模型的显著性检验
用F检验法。
F统计量：
当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。
[举例说明]
例2：某地区各城市的公共交通营运总额（y）与城市人口总数（x1 ）以及工农业总产值（x2）的年平均统计数据如表3.2.1（点击展开显示该表）所示。试建立y与x1及x2之间的线性回归模型并对其进行显著性检验。
表3.2.1 某地区城市公共交通营运额、人口数及工农业总产值的年平均数据
城市序号
公共交通营运额y/103人公里 人口数x1/103人 工农业总产值x2
/107元
1 6825.99 1298.00 437.26
2 512.00 119.80 1286.48
．．． ．．． ．．． ．．．
14 192.00 12.47 1072.27
注：本表数据详见书本P54。
解：
(1) 计算线性回归模型
由表3.2.1中的数据，有
计算可得：
故y与x1 及y2之间的线性回归方程
(2) 显著性检验
故：
在置信水平a=0.01下查F分布表知：F0.01(2,11)=7.21。由于F=38.722> F0.01(2,11)=7.21，所以在置信水平a=0.01下，回归方程式是显著的。
3. 非线性回归模型的建立方法
1) 非线性关系的线性化
(1) 非线性关系模型的线性化
对于要素之间的非线性关系通过变量替换就可以将原来的非线性关系转化为新变量下的线性关系。
[几种非线性关系模型的线性化]
① 于指数曲线 ，令 ， ，将其转化为直线形式：
，其中， ；
② 对于对数曲线 ，令 ， ，将其转化为直线形式：
；
③ 对于幂函数曲线 ，令 ， ，将其转化为直线形式：
，其中，
④ 对于双曲线 ，令 ，将其转化为直线形式：
；
⑤ 对于S型曲线 ，将其转化为直线形式：
；
⑥ 对于幂函数乘积：
令 将其转化为直线形式：
其中， ；
⑦ 对于对数函数和：
令 ，将其化为线性形式：
(2) 建立非线性回归模型的一般方法
① 通过适当的变量替换将非线性关系线性化；
② 用线性回归分析方法建立新变量下的线性回归模型：
③ 通过新变量之间的线性相关关系反映原来变量之间的非线性相关关系。
3) 非线性回归模型建立的实例
非线性回归模型建立的实例
景观是地理学的重要研究内容之一。有关研究表明（Li，2000；徐建华等，2001），任何一种景观类型的斑块，其面积（Area）与周长（Perimeter）之间的数量关系可以用双对数曲线来描述，即
例3：表3.2.2给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。试建立林地景观斑块面积A与周长P之间的双对数相关关系模型。
表3.2.2某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）
序号 面积A 周长P 序号 面积A 周长P
1 10447.370 625.392 42 232844.300 4282.043
2 15974.730 612.286 43 4054.660 289.307
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．
41 1608.625 225.842 82 564370.800 12212.410
注：本表数据详见书本57和58页。
解：因为林地景观斑块面积（A）与周长（P）之间的数量关系是双对数曲线形式，即
所以对表3.2.2中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如表3.2.3所示。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考