两道高二数学题 要过程

Question

【有的数学符号打不出来】
1.已知x属于[0,1]时，不等式x^2Cos塞塔-x（1-x）+（1-x）^2Sin塞塔>0恒成立，试求塞塔的取值范围
2.设抛物线C1：y=x^2-2x+2与抛物线C2：y=-x^2+ax+b在他们的一个交点处的切点互相垂直（1）求a,b之间的关系（2）若a>0，b>0，求ab的最大值

Answer 1

1.参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/11014944.html
解：若对一切x∈[0,1],恒有f(x)=x²cosA-x(1-x)+(1-x)²sinA>0
则cosA=f(1)>0,sinA=f(0)>0……(1)

取x0=√sinA/(√cosA+√sinA)∈(0,1),
则√cosA·x0-√sinA·(1-x0)=0

由于f(x)=[√cosA·x-√sinA·(1-x)]²+2[-1/2+√(cosAsinA]x(1-x).
则0<f(x0)=2[-1/2+√(cosAsinA)]x0(1-x0)
故-1/2+√(cosAsinA)>0……(2)

当(1)、(2)成立时,
f(0)=sinA>0,f(1)=cosA>0
且x∈(0,1)时,f(x)≥2(-1/2+√cosAsinA)x(1-x)>0.

先在[0,2π]中解(1)与(2)：
由cosA>0,sinA>0,可得0<A<π/2.
又-1/2+√(cosAsinA)>0,
√(cosAsinA)>1/2,
sinAcosA>1/4
2sinAcosA>1/2
sin2A>1/2,
由0<2A<π,
故有π/6<2A<5π/6,
所以π/12<A<5π/12.
因此A的取值范围是2kπ+π/12<A<2kπ+5π/12,k∈Z.

2.(1)设交点为(x0,y0),f(x)=x^2-2x+2,g(x)=-x^2+ax+b
则有：
y0=x0^2-2x0+2,y0=-x0^2+ax0+b
联立得：
2x0^2-(2+a)x0+(2-b)=0 ---(1)
因为交点处的切线互相垂直
设两切线斜率为k1,k2
则k1*k2=-1
则：k1=f '(x0)=2x0-2,
k2=g '(x0)=--2x0+a
则：(2x0-2)(-2x0+a)=-1 ---(2)
(1)(2)联立得：
a+b=5/2

(2)由均值不等式得：
ab<=[(a+b)/2]^2=25/16
仅当a=b时取等号
故ab的最大值为25/16