0的阶乘为什么是1？

Question

如题所述

Answer 1

阶乘的定义是一个自然数n的阶乘（表示为n!）是所有小于及等于n的正整数的乘积。例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
然而，这种定义在n=0时并不直接适用，因为没有比0小的正整数。所以，我们需要为0!给出一个特殊的定义。我们选择定义0! = 1，有几个原因：
1. 空乘积：在数学中，空的乘积（即没有任何因数的乘积）被定义为1。这是因为乘法是加法的扩展，空的加法（没有任何加数的加法）被定义为0，这是乘法单位元素。类似地，空乘积被定义为1，这是加法的单位元素。因此，因为0!是没有比0大的正整数的乘积，所以它是一个空乘积，应该等于1。
2. 组合数学：在组合数学中，我们经常要计算从n个不同的元素中选择k个元素的方法数，这被称为"组合数"或"二项式系数"，并用符号C(n, k)或nCk表示。当n=k时，只有一种方法（即选择所有元素），所以C(n, n) = 1。如果我们使用阶乘的定义来表示组合数（C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]），那么当n=k=0时，我们必须定义0! = 1，以使得C(0, 0) = 1。
3. 递归关系：阶乘有一个递归关系：n! = n × (n-1)!。如果我们要使这个关系在n=1时也成立，那么我们必须定义0! = 1。

Answer 2

因为，只是为了统一的数学运算（自洽性原则），定义:0!＝1所以，0!＝1 无需证明。
如同:a⁰＝1（a≠0）
供参考，请笑纳。