怎么判断原积分的收敛性？

Question

如题所述

Answer 1

运用柯西判别法的极限形式
令L=lim(x->+∞) x^p/[x^a*(lnx)^b]
=lim(x->+∞) [x^(p-a)]/[(lnx)^b]
（1）令p>1
当a>=p>1时，L=0，所以原积分收敛
（2）令p<=1
当a<p<=1时，L=+∞，所以原积分发散
（3）令a=1
原积分=∫(3,+∞)d(lnx)/(lnx)^b
当b=1时，原积分=∫(3,+∞)d(lnx)/(lnx)=ln|lnx||(3,+∞)，发散
当b<1时，原积分=[1/(1-b)]*(lnx)^(1-b)|(3,+∞)，发散
当b>1时，原积分=[1/(1-b)]*1/(lnx)^(b-1)|(3,+∞)=1/(b-1)(ln3)^(b-1)，收敛
综上所述，
a>1时，原积分收敛
0<a<1时，原积分发散
a=1，0<b<=1时，原积分发散
a=1，b>1时，原积分收敛